Поиск решения игры с упорядоченными исходами

Пусть задана табл. 6.1 возможных исходов. Нетрудно заметить, что проблемная ситуация моделируется игрой с «природой», где стратегиями (выборами) ЛПР являются типы вакцин, а состояниями «природы» (условиями) – типы вирусов. Поскольку вероятности состояний «природы» неизвестны, то в качестве критерия оптимальности выберем наиболее осторожный критерий Вальда, предварительно выделив наихудший исход для вакцины каждого типа (см. последний столбец табл. 6.1).

Таблица 6.1

Bj Vi	B1	B2	B3	min(ai, bj)
V1	(1; 4)	(1; 3)	(1; 3)	(1; 3)
V2	(2; 3)	(2; 3)	(2; 4)	(2; 3)
V3	(3; 4)	(3; 3)	(3; 2)	(3; 2)
V4	(4; 3)	(4; 2)	(4; 3)	(4; 2)
V5	(5; 2)	(5; 3)	(5; 2)	(5; 2)
V6	(6; 3)	(6; 2)	(6; 1)	(6; 1)
V7	(7; 1)	(7; 2)	(7; 3)	(7; 1)

Применение критерия Вальда сводится к установлению отношения предпочтения (доминирования) на множестве выделенных исходов и удаления доминируемых исходов, а значит, и соответствующих им стратегий (вакцин) ЛПР (отмечены перечеркнутыми строками). В результате получаем множество эффективных (недоминируемых) решений Парето {V₂, V₅, V₇}, для окончательного выбора из которого ЛПР необходима дополнительная информация. Например, если известно, что эпидемия не носит всеобщего характера (заболевают в основном дети и пожилые люди), но болезнь протекает тяжело, то предпочтение следует отдать наиболее дорогой, но и наиболее эффективной в целом вакцине типа V₂. Для противоположного случая – всеобщность эпидемии при сравнительной легкости заболевания – целесообразно производить наиболее дешевую (но и менее эффективную) вакцину типа V₇. Для промежуточного случая или при отсутствии дополнительной информации может быть рекомендована вакцина типа V₅. Заметим, что если имеется достаточно средств, то следует производить наиболее эффективную вакцину V₂.

Если для той же задачи, например, поступила информация, что ожидается вирус типа В₃, то табл. 6.1 трансформируется в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Bj Vi	B3
V1	(1; 3)
V2	(2; 4)
V3	(3; 2)
V4	(4; 3)
V5	(5; 2)
V6	(6; 1)
V7	(7; 3)

Снова используя отношение доминирования на множестве исходов, получим множество эффективных решений Парето, состоящее только из двух решений (вакцин) V₂, и V₇. Привлекая дополнительную информацию о тяжести заболевания и его массовости, решается вопрос о том, какую из двух вакцин производить.

6.3. Контрольные вопросы к разделу 6

· Дайте определение игры с упорядоченными исходами. Приведите пример.

· Каким образом можно ввести отношение доминирования на множестве исходов?

· Когда в качестве критерия оптимальности рекомендуется использовать критерий Вальда?

· Рассмотрите на примере возможности решения игры с упорядоченными исходами.

· Для примера, представленного табл. 6.1, рассмотрите случай, когда ожидается вирус В₁.

· Для примера, представленного табл. 6.1, рассмотрите случай, когда ожидается вирус В₂.

· Для примера, представленного табл. 6.1, рассмотрите случай стохастической неопределенности с вероятностями q₁=0,5; q₂=0,3; q₃=0,2.