Условия устойчивости импульсных систем.
Изложим условия устойчивости и линейной импульсной системы, следуя [6] . Рассмотрим полученное ранее уравнение системы во временной области (10)
и приведем его к виду
. (45)
Пусть внешнее воздействие ограничено, т.е.
.
Произведем оценку выходного сигнала
.
Поднимая в последнем неравенстве верхний предел суммирования до бесконечности (это может только усилить неравенство), получим
. (46)
Очевидно, что импульсная система устойчива, если ряд в правой части (46) сходится, т.е. если
. (47)
Таким образом, импульсная система устойчива, если ряд дискрет весовой функции ПНЧ абсолютно сходится. В приведенной формулировке условие (47) является достаточным.
Покажем его необходимость. Положим, что условие (47) не выполняется, т.е.
. (48)
Тогда можно найти ограниченное входное воздействие, при котором реакция системы будет неограниченной. Пусть при фиксированном k
(набор дискрет входного сигнала меняется для каждого). Тогда
.
Согласно условию (48) для любого наперед заданного числа N всегда можно подобрать такое k , когда
,
что доказывает необходимость условия (48).
Таким образом, условие (48) является необходимым и достаточным условием устойчивости линейной импульсной системы.
Рассмотрим, как оценивается устойчивость линейной импульсной системы по ее передаточной функции. По определению
откуда
.
Если , то и тогда
при .
Отсюда следует, что у устойчивой импульсной системы передаточная функция должна быть ограничена в области , т.е. функция W(z) не должна иметь особых точек-полюсов в области .
Таким образом, импульсная система устойчива, когда все полюсы W(z) удовлетворяют соотношению
,
где n - число полюсов. Случай, когда существуют полюсы такие, что , является критическим. Можно показать, что устойчивость обеспечивается, если и - полюс первого порядка передаточной функции W(z) .
Как правило, передаточная функция импульсной системы является дробно-рациональной функцией, т.е.
где , A(z) , B(z) -многочлены.
Тогда уравнение
B(z)=0 (49)
будет характеристическим уравнением импульсной системы и для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы:
1) все корни уравнения (49) удовлетворяли условию
2) корни, модули которых равны единице, были простыми.
Таким образом, на комплексной плоскости z устойчивой импульсной системе соответствуют корни B(z), находящиеся внутри единичной окружности или принадлежащие этой окружности. Асимптотической устойчивости системы, характеризующейся тем, что в отсутствие входного сигнала собственные движения стремятся к нулю при , соответствуют полюса передаточной функции, находящиеся внутри единичной окружности
Анализ устойчивости импульсной системы заключается в оценке расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.
Дата добавления: 2016-07-05; просмотров: 1918;