Расчёт разветвлённых цепей с помощью законов Кирхгофа.

1.Упрощение элементарных цепей.

2. Произвольно расставляются направления токов в ветвях и расстав­ляют их на схеме.

3. Выбирают направление обхода контуров с целью упрощения, берут одинаковое направление обхода во всех контурах. Учитывают только независи­мые контура.

Независимый – контур, который содержит хотя бы одну ветвь, которая не учитывается другими контурами.

4. Записывается уравнение по первому закону Кирхгофа. Число этих урав­нений на 1 меньше числа узлов. Использовать все Y уравнений невозможно, т.к. одно из них обязательно будет зависимым. Это связано с тем, что токи ветвей войдут в уравнения, составленные для всех Y узлов, дважды, причем с разными знаками, т.к. один и тот же ток направлен от одного узла к другому. При сложении всех уравнений левая и правая части будут равны нулю, а это означает, что одно из уравнений можно получить суммированием (Y-1) уравнений и заменой знаков всех токов на противоположные. Таким образом Y-е уравнение всегда будет зависимым.

5. Записывается уравнения по 2 закону Кирхгофа для контуров.

Для определения неизвестных токов в ветвях необходимо составить систему уравнений Кирхгофа, количество которых должно быть равно количеству неизвестных токов.

6. Решаем систему уравнений относительно токов.

Пусть дана схема рис. 4.6. Заданы величины ЭДС и номиналы сопротивлений. Записать систему уравнений для определения токов по законам Кирхгофа.

Е3

Е1

R1

R7

J6

R6

Е2

R2

R3

R4

R5

a

b

c

d

Рис. 4.6. Исходная схема

После выполнения пунктов 1, 2, 3 схема примет вид рис. 4.7. При этом Сопротивления R1 и R7 заменены эквивалентным R17, а реальный источник тока J6 c R6 - эквивалентным ЭДС (E6Э) с внутренним сопротивлением R6.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов – их в схеме два, т.к. узел c превратился в точку на линии, а ток I6=I1.

Для узла a I1 - I3+I4-I5 =0,

Для узла b I2+I3-I4 =0.

Запишем далее уравнения для независимых контуров по второму закону Кирхгофа – их три.

Для первого контура I3*R3+I4*R4 = - E3,

Для второго контура -I2*R2-I4*R4-I5*R5 = -E2,

Для третьего контура I1*(R17+R6)+I5*R5 = E1-E6Э.

Добавляем к этим уравнениям 2 уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа и получим систему уравнений 5-го порядка.

Е3

Е1

R17

R6

Е2

R2

R3

R4

R5

a

b

c

d

I

II

III

I3

I2

I1

I5

I4

I6

Е6Э

Рис. 4.7. Эквивалентная схема с обозначением токов, узлов и контуров

I3+I4-I5 = 0,

I2+I3-I4 = 0,

I3*R3+I4*R4 = - E3,

-I2*R2-I4*R4-I5*R5 = -E2,

I1*(R17+R6)+I5*R5 = E1-E6Э

Запишем матрицу коэффициентов при токах и столбец свободных членов. Получим следующую таблицу:

С левой стороны от знака равенства мы получили матрицу коэффициентов, с правой – столбец свободных членов. Используя правило Крамера, решаем систему и определяем искомые токи. Как видно из вышеприведенного метода нам нужно решать систему уравнений пятого порядка.

Уменьшить порядок системы позволяет метод контурных токов.