Дискретизация сигналов с непрерывным временем

Часто дискретные сигналы получаются из аналоговых сигналов с помощью периодической дискретизации.

Рассмотрим аналоговый сигнал , имеющий представление Фурье:

(1.34)

(1.35)

Говорят, что последовательность со значениями получена из периодической дискретизацией, а называется периодом дискретизации. Чтобы определить в каком смысле представляет исходный сигнал с преобразованием Фурье последовательности .

(1.36)

Преобразование Фурье в дискретном времени также дает представление

(1.37)

Путем замены (1.36) на сумму интегралов по интервалам длиной можно получить:(3.1)

(1.38)

(1.39)

Из соотношений (1.38) и (1.31) становится совершенно ясной связь между преобразованием Фурье в непрерывном времени и преобразованием Фурье последовательности, полученной посредством дискретизации.

Если период дискретизации слишком велик, сдвинутые варианты спектра перекрываются. В этом случае верхние частоты отражаются в более низкие частоты .

На нижнем рисунке спектральные свойства исходного сигнала тиражированы бесконечное число раз, поэтому можно ожидать, что может быть восстановлено по выборкам при помощи подходящей интерполяционной формулы. Отсюда ясно, что наименьшая частота дискретизации должна удовлетворять неравенству . Эта частота дискретизации часто называется частотой Найквиста.

Рис. 1.2.

Z-преобразование

В теории систем с непрерывным временем преобразование Лапласа может рассматриваться как обобщение преобразования Фурье. Подобным образом можно обобщить преобразование Фурье для дискретных сигналов и систем на основе z-преобразования.

Z-преобразование используется при анализе дискретных линейных стационарных систем. Прямое z-преобразование

(1.40)

где z-комплексная переменная (сравнить с преобразованием Фурье ).

Представив z в полярных координатах , получаем

(1.41)

Поэтому z-преобразование можно интерпретировать как преобразование Фурье последовательности x(n), умноженное на экспоненциальную последовательность.

Z-преобразование сходится не для всех последовательностей и не для всех z. Для любой последовательности множество тех значений z, для которых z-преобразование сходится, называется областью сходимости.

Важный класс z-преобразований представляют преобразования , являющиеся рациональными функциями, т.е. отношениями полиномов от z. При этом корни числителя называют нулями, а корни знаменателя – полюсами. Область сходимости z-преобразования ограничена полюсами.

Пример. Рассмотрим последовательность ( «ступенька»). Ее z-преобразование задается рядом , который сходится к для , имеет нуль в точке и полюс в точке .

Рис. 1.3.

Можно показать, что для правосторонней последовательности ( ) областью сходимости является внешняя область круга. Для левосторонней последовательности областью сходимости является внутренность круга.