Вычисления с замещением


Направленный граф для полного разложения восьмиточечного ДПФ в алгоритме с прореживанием по времени изображен на Рис. 1.7. На каждой ступени вычислений происходит преобразование множества из N комплексных чисел в другое множество из N комплексных чисел. Этот процесс повторяется раз, определяя в результате дискретное преобразование Фурье. Обозначим последовательность комплексных чисел, получающихся на m-ой ступени вычисления, через , где = и m=1,2,… . Можно считать входным массивом, а выходным массивом на m+1 ступени вычислений. Таким образом, для случая N=8:

; ; ;

; ; ;

Основным вычислением на графе является вычисление по схеме «бабочка» Рис. 1.8.

 


Рис. 1.7. Схема 8-точечного БПФ.

 
 

Рис. 1.8.

 

Рис. 1.9.
 
 

 

Уравнение, соответствующее этому графу, имеет вид:

(1.55)

Учитывая, что , получаем:

 

(1.56)

Следовательно, так как имеются N/2 бабочек вида (1.56) на каждую ступень и ступеней, общее требуемое число умножений . Ясно, что для вычисления элементов p и q m+1-го массива требуются комплексные числа, расположенные на местах p и q m-го массива. Поэтому реально необходим только один комплексный массив из N элементов.

Чтобы вычисления выполнялись так, как сказано выше, входные данные должны быть записаны в необычном порядке, который называется двоичной инверсией.

Если (n0,n1,n2) – двоичное представление номеров последовательности , то элемент последовательности x(n2n1n0) запоминается в массиве на месте X(n0n1n2).

; ; ;

; ; ;

; .

Объяснить этот факт можно с помощью следующей схемы:

Рис. 1.10.
Двоичная инверсия.

 

int math_inverse_bits( int value, int bits ) // инвертируем биты для преобразования Фурье {   int result = 0 ; int mask = 1 << (bits-1) ;   for ( int i=0; i<bits; i++ ) {   if ( value & mask ) result |= 1 << i ;   mask = mask >> 1 ;   }   return ( result ) ;   }   BOOL math_fft( double* dbl_array, int* nSize ) {   // определяем длину для преобразования фурье int tmp_size = *nSize ; for( int M=0; tmp_size>1; tmp_size/=2,M++ ) ;   int fft_size = 1 << M ; // 1<<M == 2^M   // подготавливаем массив std::complex<double>* fft_array = new std::complex<double>[ fft_size ] ; ASSERT( fft_array ) ;   // устанавливаем порядок для fft for ( int i=0; i<fft_size; i++ ) { fft_array[ math_inverse_bits(i,M) ] = std::complex<double>(dbl_array[ i ],0.0) ; }   double pi = 3.141592653589793 ;   // M этапов for ( int l=0; l<M; l++ ) {   int le = 1 << (l+1) ; // le - смещение между бабочками int le1 = le >> 1 ; // le1 - размер бабочки std::complex<double> U ( 1.0, 0.0 ) ; std::complex<double> W ( cos( pi / le1 ), sin( pi / le1 ) ) ;   for ( int j=0; j<le1; j++ ) { for ( int i=j; i<fft_size; i+=le ) { int ip = i + le1 ; std::complex<double> T = fft_array[ ip ] * U ; fft_array [ ip ] = fft_array[ i ] - T ; fft_array [ i ] = fft_array[ i ] + T ; }   U *= W ;   }   }   for ( i=0; i<fft_size / 2 ; i++ ) { dbl_array[ i ] = std::abs( fft_array[ i ] ) ; }   *nSize = fft_size / 2 ;   delete[] fft_array ; fft_array = NULL ;   return ( TRUE ) ;   }  

Рис. 1.11. Пример программы БПФ на языке C++.

 



Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 473;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.