Свойства z-преобразования
Линейность: если и , то , где область сходимости равна, по крайней мере, пересечению областей сходимости и .
Сдвиг: если , то .
Умножение на экспоненциальную последовательность: .
Дифференцирование: .
Свертка последовательностей: если - свертка двух последовательностей и , то z-преобразование равно произведению z-преобразований и , т.е. если , то .
Теорема о комплексной свертке. В непрерывном случае свертка временных функций приводит к произведению преобразований Фурье и, аналогично, свертка преобразований Фурье получается из произведения временных функций.
В случае последовательностей и z-преобразований нельзя ожидать такого соотношения из-за того, что последовательности дискретны, а их z-преобразования непрерывны. Однако можно вывести похожее соотношение: если , то .
Соотношение Парсеваля. Известно соотношение Парсеваля для преобразования Фурье. Обобщение этого соотношения на z-преобразование следует из теоремы о комплексной свертке. В частности, мы рассмотрим две комплексные последовательности и . Тогда соотношение Парсеваля утверждает, что
. | (1.43) |
Контур интегрирования выбирается в пересечении областей сходимости и .
Передаточная функция. В частотной области соотношение входным и выходным сигналами получается простым умножением преобразования Фурье входного сигнала на преобразование Фурье импульсной характеристики.
Более общим образом можно описать линейные стационарные системы с помощью z-преобразования импульсной характеристики.
. | (1.44) |
Часто z-преобразование импульсной характеристики называется передаточной или системной функцией. Передаточная функция на единичной окружности (т.е. при ) является частотной характеристикой системы.
Если область сходимости передаточной функции включает единичную окружность, то система устойчива и наоборот.
Если систему можно описать линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, то ее передаточная функция является отношением полиномов.
(1.45) |
Следовательно, с точностью до скалярного множителя А передаточная функция может быть полностью описана картиной полюсов и нулей в z-плоскости.
Соотношение (1.45) не содержит указаний об области сходимости передаточной функции. Это находится в соответствии с тем фактом, что разностное уравнение неоднозначно определяет импульсную характеристику линейной стационарной системы. Для данного отношения полиномов различные способы выбора области сходимости приведут к различным импульсным характеристикам, но они все будут удовлетворять одному и тому же разностному уравнению. Если предположить, что система устойчива, то нужно выбрать кольцевую область, включающую единичную окружность.
z-преобразования некоторых функций
Функция времени | Преобразование Лапласа | z-преобразование |
(штырек) | ||
(ступенька) | ||
Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 597;