Дифференциальное уравнение теплопроводности
Выделим в однородном теле элементарный параллелепипед объемом dV с ребрами dx, dy, dz. Физические свойства тела – плотность ρ, теплоемкость с, теплопроводность λ – одинаковы во всех точках параллелепипеда и не изменяются во времени. Температура на левой грани dy dx равна t, на противоположной грани .
Количество тепла входящего в параллелепипед через его грани за время dτ:
Количество тепла, выходящее из параллелепипеда через противоположные грани за тот же промежуток времени:
Количество тепла, которое вышло через грань, не равно количеству тепла которое вышло через противоположную грань, т.к. часть тепла расходуется на повышение температуры в объеме параллелепипеда. Разность между количествами вошедшего и вышедшего тепла составит за промежуток dτ:
Полное приращение тепла в параллелепипеде за время равно dτ:
Учитывая что dxdydz = dV получи:
Выражение, стоящее в скобках представляет собой оператор Лапласа . Следовательно:
(А)
По закону сохранения энергии приращение количества тепла в параллелепипеде равно количеству тепла, расходуемому на изменение энтальпии параллелепипеда, которое составляет:
(Б)
причем представляет собой изменение температуры параллелепипеда за промежуток времени dτ. Приравняем выражение (А) и (Б):
Обозначив и произведя сокращения, получим:
(С)
Выражение (С) определяет распределение температур в любой точке тела, через которое тепло передается теплопроводностью, и называется дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде, или уравнение Фурье.
Коэффициент пропорциональности а называется коэффициентом температуропроводности:
Коэффициент температуропроводности а характеризует теплоинерционные свойства тела: при прочих равных условиях быстрее нагревается или охлаждается тело, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности.
При установившемся процесс передачи тепла теплопроводностью и уравнение примет вид:
Однако величина а ≠ 0 тогда , или
Дифференциальное уравнение теплопроводности в неподвижной среде при установившемся тепловом режиме.
Итоговые уравнения показывают распределение температур при передачи тепла теплопроводностью в общем виде, без учета, в частности, формы тепла, через которое проводится тепло. Для конкретных условий это уравнение должно заполняться граничными условиями, характеризующими геометрические факторы.
Дата добавления: 2016-06-29; просмотров: 1647;