Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка у′ = f(x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

у′ = f₁(x) ∙ f₂(y).

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:

- разделить переменные (т.е. в одной части уравнения должно быть выражение, содержащее только переменную х, в другой – переменную у);

- найти интегралы от обеих частей уравнения, найти частное решение уравнения;

- найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: ydy + xdx = 0

Сначала разделим переменные, т.е. запишем уравнение в виде

ydy = -xdx,

затем найдем интегралы от обеих частей уравнения:

∫ ydy = -∫xdx,

получим

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: 2уу′ = 1-3х².

Заменим у′ = и умножим обе части уравнения на dx.

Получим: 2уdy = (1-3х²)dx,

Затем найдем интегралы от обеих частей:

2∫ уdy = ∫(1-3х²)dx,

у² = х - х³+С.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения (решить задачу Коши для заданных начальных условий): (1+x²)dy – 2x(y+3)dx = 0, если у = -1 при х = 0.

Сначала найдем общее решение. Разделим переменные (для этого выражение (– 2x(y+3)dx) перенесем в правую часть и разделим обе части уравнения на (1+x²)(y+3)).

Получим: ,

,

найдем интегралы от обеих частей:

Вычислим отдельно каждый интеграл.

1. . Введем новую переменную t = у+3, тогда dt = (у+3)′∙ dу = dу, т.е. dt = dу. Подставим новую переменную в интеграл:

= = ln +C = ln +C

2. . Введем новую переменную t = 1+x² , тогда dt = (1+x²)′∙ dx = 2xdx, откуда dx = . Подставим новую переменную в интеграл:

= = = ln +C = ln

Найдем общее решение данного уравнения:

Для нахождения частного решения подставим в общее решение вместо х и у заданные начальные значения: ,

найдем С: С = ln 2,

подставим в общее решение получившееся значение C:

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

-

это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения при условии у(2)= 1.

при у(2) = 1 получаем

или - частное решение;

Пример. Решить уравнение

Пример. Решить уравнение при условии у(1) = 0.

Если у(1) = 0, то

.

Пример. Решить уравнение .

Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.