Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

,

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что x_n £ M.

Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что x_n ³ M

Пример. {x_n} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim x_n = a.

В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n®¥.

Свойство:Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

{x_n}= 2 + 1/n; 1/n = x_n – 2. Очевидно, что существует такое число n, что ,

т.е. lim {x_n} = 2.