Метод Крамера для решения систем линейных уравнений
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:
Составим матрицы: А = и В =
Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Это решение может быть найдено по формулам
, где
, , …,
Пример. Решить систему уравнений методом Крамера:
D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
D1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
D2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
D3 = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
x1 = = 1; x2 = = 2; x3 = = 3.
Для самостоятельного решения:
;
Решение произвольных систем линейных уравнений
Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
,
где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решением системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
Для этой системы линейных уравнений вида матрица
А = называется матрицей системы, а матрица
А*= называется расширенной матрицей системы
Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 459;