Колебательное движение материальной точки

1. Незатухающие колебания. Рассмотрим движение тела, прикрепленного к свободному концу пружины (рис.21). Полагаем, что трение отсутствует. Поскольку тело может двигаться только в направлении горизонтальной прямой (например, тело скользит по натянутой струне), то в отсутствие трения сила тяжести не влияет на характер движения. Если тело сместить от положения равновесия и предоставить само себе, то в любой момент времени на него действует лишь одна сила – сила упругости, направленная к положению равновесия. В проекции на ось ОХ уравнение движения принимает вид: , или

. (10.1)

Разделим обе части уравнения на m и введём обозначение k| m = w₀². Тогда получим

. (10.2)

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы найти кинематический закон движения материальной точки, надо это уравнение проинтегрировать (2-я задача динамики).

Путем подстановки различных функций можно убедиться, что решением этого уравнения является гармоническая функция x(t)= Acos(w₀t+j₀). (10.3)

Амплитуда А и начальная фаза j₀ определяются из начальных условий при t = 0:

x(0) = x₀ = Acosj₀; (0) = v₀ = –Aw₀sinj₀. (10.4)

Отсюда амплитуда колебаний ; начальная фаза j₀= arctg .

Итак, материальная точка, движущаяся под действием одной лишь упругой силы, испытывает гармонические колебания с постоянной амплитудой и частотой w₀= . Это незатухающие (свободные) колебания. Частота таких незатухающих колебаний w₀ называется собственной частотой колебательной системы. Она определяется внутренними параметрами колебательной системы. В случае пружинного маятника – это масса груза m и жёсткость пружины k.

Гармонические колебания могут возникать не только под действием упругой силы, но и любой другой, пропорциональной смещению x и направленной к положению равновесия. Такие силы, определяющиеся общей формулой F_x = – kx, называются квазиупругими.

2. Энергия колебательной системы. Совокупность элементов, обеспечивающих колебательное движение тела, называют колебательной системой. Колебательную систему, в которой материальная точка совершает гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором (или классическим осциллятором). Рассмотрим изменение кинетической и потенциальной энергии гармонического осциллятора.

а. Кинетическая энергия осциллятора есть энергия движения материальной точки,

E_к= . Так как v = = – Aw₀sin(w₀t + j₀), то E_к= sin²(w₀t + j₀), или

E_к = . (10.6)

(Из формул тригонометрии: cos²a = (1 + cos2a), sin²a = (1 – cos2a) )

Кинетическая энергия гармонически колеблющегося тела изменяется с удвоенной частотой 2w₀.

б. Потенциальная энергия осциллятора есть энергия упругой деформации пружины. E_п= . Так как x = Acos(w ₀t + j₀), то E_п= cos²(w₀t + j₀). Но k = mw₀². Отсюда

E_п= cos²(w₀t+j₀) = . (10.7)

Потенциальная энергия гармонического осциллятора также изменяется по гармоническому закону с удвоенной частотой в противофазе по отношению к кинетической энергии (рис.22). Полная механическая энергия гармонического осциллятора E = E_к+ E_п = const или:

E = sin²(w₀t+j₀)+ cos²(w₀t+j₀) = . (10.8)

Когда колебания совершаются только под действием квазиупругих сил, полная механическая энергия осциллятора остаётся постоянной.

3. Математический маятник. Это идеализированная колебательная система, состоящая из точечной массы m, подвешенной в однородном гравитационном поле на невесомой и нерастяжимой нити длиной l (рис23).. Найдём кинематический закон движения математического маятника.

На массу m действуют две силы – сила тяжести m и сила натяжения нити . Сумма этих сил направлена по касательной к дуге окружности, по которой может двигаться масса m. Запишем уравнение движения при его естественном задании: m = – f.

Но f = mg sina. Отсюда m = – mg sina. Смещение по дуге можно представить через угол a. Так как s = la , то при l =const (нить нерастяжимая) = l , и уравнение движения в переменных a и t принимает вид: sina = 0. (10.9)

Если ограничиться малыми углами, то при a < 4° sina @ a cточностью до трёх знаков. В этом случае уравнение движения упрощается: a = 0. (10.10)

Но это – уравнение незатухающих гapмонических колебаний. Кинематический закон колебаний, выраженный через угловое смещение, имеет такой же вид, как и закон колебаний груза на пружине. a = Аcos(w₀t+j₀). (10.11)

Здесь А – амплитудный угол отклонения нити, j₀ – начальная фаза колебаний.

Циклическая частота колебаний математического маятника аналогично пружинному . Период колебаний T₀= . (Формула Гюйгенса, I673). (10.12)

Период колебаний не зависит от амплитуды (изохронность колебаний). Колебания изохронны лишь при малых углах отклонения маятника от положения равновесия a < 4°.