Непрерывность функции

О: Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке, который равен значению функции в этой точке, т.е. .

Примером непрерывной функции может служить любая элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.

Точка х = а называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция определена в некоторой окрестности точки х = а, но в самой точке х = а не удовлетворяет условию непрерывности.

Точки разрыва функции делятся на два типа. К точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы: (левый предел) и (правый предел). К точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Задание 4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график

Решение:Функция является неэлементарной, так как на разных интервалах представлена различными аналитическими выражениями. Эта функция определена на интервалах (-∞;0), (0;2) и (2; +∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Внутри каждого интервала указанные элементарные функции не имеют точек разрыва, следовательно, разрыв возможен только в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х₁ = 0 и х₂ = 2.

Для точки х₁ = 0 имеем:

Так как , то функция в точке х₁ = 0 имеет разрыв первого рода.

Для точки х₂ = 2 находим:

Так как , то функция в точке х₂ = 2 имеет разрыв первого рода.

График данной функции изображен на рис. 1.

Рис. 1.

3.3 Производная, геометрический смысл.