Сплайновая интерполяция

Сплайном (spline) называли гибкую металлическую линейку – универсальное лекало, которое использовали чертежники для того, чтобы гладко соединить отдельные точки на чертеже, т. е. для графического исполнения интерполяции. Более того, кривая, описывающая деформацию гибкой линейки, зафиксированной в отдельных точках, является сплайном [9]. Другими словами, сплайн используется для определения функции профиля между точками данных [7].

Сплайны обладают исключительно хорошими аппроксимативными свойствами, универсальностью и обеспечивают простоту реализации вычислительных алгоритмов, полученных на их основе. При этом алгоритмы построения сплайнов совпадают с алгоритмом метода конечных элементов, который является основным промышленным методом прочностного анализа в САПР. И, несмотря на то, что в настоящее время традиционной прикладной сферой использования интерполяционных сплайнов стали САПР, потенциальные возможности сплайнов значительно шире, чем просто описание некоторых кривых. В реальном мире большое количество физических процессов по самой своей природе являются сплайнами. То есть сплайн – не выдуманная математическая абстракция, а во многих случаях он является решением дифференциальных уравнений, описывающих вполне реальные физические процессы (например, в механике это деформация гибкой пластины или стержня, зафиксированной в отдельных точках; в термодинамике это теплообмен в стержне, составленном из фрагментов с различной теплопередачей; в химии – диффузия через слои различных веществ; в электричестве – распространение электромагнитных полей через разнородные среды и т. д.) [9].

Рассмотрим более подробно некоторые виды сплайнов.

Сплайн Акима

Метод интерполяции сплайнами Акима создает местную посадку. Этот метод требует наличия информации о точках в области интервала интерполяции для определения кубических полиномиальных коэффициентов. Соответственно, каждая точка данных в сплайне Акима влияет только на соседнюю область кривой. Так как используются локальные методы, интерполяция Акима рассчитывается очень быстро [7].

Метод Акима дает хорошие результаты для значения аппроксимированной функции. Этот метод также возвращает точные оценки первой производной аппроксимированной функции, когда точки данных равномерно распределены. В случаях, когда точки данных распределены неравномерно, оценка первой производной может быть ошибочна. Вторая производная аппроксимированной функции при использовании данного метода недостоверна [7].

Кубический сплайн

Метод интерполяции кубического сплайна создает глобальную посадку. Глобальные методы используют все существующие точки для расчета коэффициентов для всех интервалов интерполяции одновременно. Соответственно, каждая точка данных влияет на весь кубический сплайн. При перемещении одной точки весь сплайн соответственно изменяется, что делает его более неровным, и тем сложнее заставить его принять желаемую форму. Это особенно очевидно для функций с линейными частями или с резкими изменениями в кривой. В таких случаях кубический сплайн почти всегда более неровный, чем сплайн Акима [7].

Метод интерполяции кубического сплайна работает не так быстро, как интерполяция сплайна Акима, но дает хорошие результаты для значений аппроксимированной функции, а также ее первой и второй производных. Точки данных не должны быть равномерно расположены. Процесс решения часто требует оценки производных определяемых функций. Чем более гладкая производная, тем проще достичь сходимости решения [7].

Линейный

Метод линейной интерполяции создает местную посадку путем определения кусочно-непрерывной линейной функции между смежными точками данных [7].

Метод линейной интерполяции дает более быстрое схождение, чем два других метода. Результирующая функция представляет собой кусочно-непрерывную линейную функцию, имеющую разрывную производную в заданных точках данных. Вторая производная равняется нулю, за исключением заданных точек данных, где она равна бесконечности [7].

B-сплайн

В последнее время в вычислительной практике широкое распространение получили
B-сплайны (от англ. bell – колокол) – сплайны с локальным носителем.
Эти сплайны сосредоточены на конечном носителе. Они используются как для интерполяции функций, так и в качестве базисных функций при построении методов типа конечных элементов [11].

Линия, составленная из В-сплайнов, не будет проходить точно через заданные точки. Подобную кривую составляют из дуг полиномов третьей степени, так как такой полином обеспечивает необходимую непрерывность. Построение линии происходит с помощью итерационной процедуры [10].

NURBS

Неоднородный рациональный Bezier-сплайн, NURBS (англ. Non-uniform rational Bezier spline) – математическая форма, применяемая в компьютерной графике для генерации и представления кривых и поверхностей; является частным случаем B-сплайнов, причем широко распространенным из-за своей стандартизированности и относительной простоты [11]. NURBS-кривые обладают одной особенностью: они всегда имеют гладкую форму [5].