Система сравнений первой степени. Китайская теорема об остатках.


 

Рассмотрим систему сравнений

*

От системы сравнений вида aixbi (mod mi) можно перейти к данной способом, указанным в п.1.

Китайская теорема об остатках (I век до н.э. Сунь-Цзе)

Пусть m1,…, mk – попарно простые числа система сравнений (*) имеет единственное решение x0 **,

где M= , Mi= , .

Доказательство:

Т.к. ms\Mj

система (*) равносильна системе

***

т.е. системам (*) и (***) удовлетворяют одни и те же значения x. Системе (***) (в силу свойств 12 и 13 сравнений) удовлетворяют те и только те значения, которые заданы теоремой (т.е. x0).

Следствие.

Если в системе ** независимо друг от друга пробегают полные системы вычетов по модулям соответственно, то пробегает полную систему вычетов по модулю M.

Доказательство: в силу свойства 13 сравнений, x0 пробегает ровно M не сравнимых по модулю M значений.

Пример

Решить систему сравнений:

mi
Mi

Вычислим параметры, необходимые для нахождения решения. Составим таблицу

 

Согласно китайской теореме об остатках, решением будет являться

x0≡1∙20∙2+2∙15∙3+4∙12∙3(mod 60)≡40+90+144(mod 60)≡34(mod 60).

Ответ: x≡34(mod 60).

Проверка:

Решение верно.

 



Дата добавления: 2018-11-26; просмотров: 871;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.