Тест Ферма на простоту
Вход: число n – для проверки на простоту, t – параметр надежности.
1. Повторяем t раз:
а) Случайно выбираем a [2, n-2]
б) Если an–1 1 (mod n) «n – составное». Выход.
2. «n – простое с вероятностью 1–εt »
Этот тест может принять составное число за простое, но не наоборот.
Вероятность ошибки есть εt, где ε
В случае составного числа n, имеющего только большие делители, ε , то есть существуют числа, для которых вероятность ошибки при проверке их на простоту тестом Ферма близка к 1.
Для теста Ферма существуют так называемые числа Кармайкла – такие составные числа, что a: (a,n) = 1 an–1 ≡ 1(mod n). То есть числа Кармайкла – это такие составные числа, которые всегда принимаются тестом Ферма за простые, несмотря на то, как велико число t – параметр надежности теста.
Теорема Кармайкла
n – число Кармайкла 1) n свободно от квадратов (т.е. n = p1∙p2∙…∙pk);
2) (pi – 1)\(n – 1), i = 1,…,k ;
3) k .
Наименьшее известное число Кармайкла n=561 = 3∙11·17
3.7. Применение теоремы Эйлера в RSA:
Если известно разложение числа на простые сомножители a = p1 p2 … pn , то легко вычислить функцию Эйлера φ(a).
Отсюда вывод: сложность вычисления функции Эйлера не выше сложности задачи факторизации .
Покажем, что в случае n=pq (p,q – простые числа, p q) задачи нахождения функции Эйлера и факторизации эквивалентны. (то есть в случае, когда n – модуль RSA).
Учтем, что φ(n) = (p – 1)(q – 1). Тогда имеем систему
.
Зная n и φ(n), находим p и q из системы, приведенной выше, следующим образом:
Первое уравнение системы является квадратным уравнением относительно q,
q = , где Dq = [n– φ(n)+1]2 – 4n.
Подставляя полученное q во второе уравнение системы, находим p.
Видим, что при нахождении чисел p, q по известным n, φ(n) применяются только «дешевые» в смысле времени операции – сложение, деление на 2. Только при вычислении дискриминанта приходится применять возведение в степень, а при вычислении q – извлечение квадратного корня. Однако эти операции производятся однократно, поэтому временные затраты не столь существенны.
Итак, для модуля RSA задачи нахождения функции Эйлера и факторизации равносложны.
Формулировка теоремы Эйлера для RSA:
n = pq; p≠q; p, q – простые числа a выполняется akφ(n)+1≡ a (mod n).
(на самом деле n может быть просто свободно от квадратов, то есть произведением произвольного количества различных простых чисел)
Доказательство:
Возможны два случая:
1) (a, n) = 1 по теореме Эйлера aφ(n) ≡ 1 (mod n)
akφ(n)+1 = 1k ∙a ≡ a (mod n).
2) (a, n) ≠ 1, n не делит a в силу основного свойства простых чисел, либо p\ a, либо q \ a.
Не нарушая общности, предположим, что p\a, q не делит a.
Тогда по теореме Ферма, akφ(n)+1≡a(mod p),
qq–1≡1 (mod q) akφ(n)+1≡1k(p–1)·a ≡ a (mod q).
Итак, akφ(n)+1 ≡ a (mod p), akφ(n)+1≡ a (mod q). Отсюда по св-ву сравнений №12, akφ(n)+1≡ a(mod НОК(p,q)). В силу простоты p и q, НОК(p,q)=pq=n, значит
akφ(n)+1≡ a (mod n).
3) n\a a≡0(mod n) akφ(n)+1≡0≡a(mod n).
□
Примечание:
Если вместо φ(n) в теореме Эйлера для RSA взять НОК(p–1, q–1), теорема все равно будет верна.
Применение теоремы Эйлера в RSA:
Напомним, что криптосистема RSA является системой с открытым ключом. В качестве параметров системы выбираются различные большие простые числа p и q, вычисляется n=pq, φ(n)=(p–1)(q–1), выбирается число e: 2<e<n, (e, φ(n))=1 и вычисляется d=e-1(mod φ(n)). В качестве открытого ключа берется пара (n, e), в качестве закрытого, хранимого в секрете, четверка (p, q, φ(n), d).
Для того, чтобы зашифровать открытый текст x, абонент, пользуясь открытым ключом, вычисляет зашифрованный текст y по следующей формуле:
y = xe mod n.
Для того, чтобы осуществить расшифрование, владелец секретного ключа вычисляет
x = yd mod n.
В результате такого расшифрования действительно получится открытый текст, поскольку yd mod n=xed mod n=xed mod φ(n)mod n =x1 mod n=x.
Без знания простых сомножителей p и q сложно вычислить значение функции Эйлера φ(n), а значит, и степень d, в которую следует возводить зашифрованный текст, чтобы получить открытый.
Более того, знание простых сомножителей p и q может значительно облегчить процедуру возведения шифрованного текста y в степень d. Действительно, пользуясь теоремой Эйлера для RSA, можем понизить степень d. Разделим d на φ(n) с остатком:
d=kφ(n)+r
x=yd mod n= ykφ(n)+r mod n= yr mod n.
Еще более можно понизить степень, используя НОК(p–1,q–1)= вместо φ(n).
Пример:
n=19∙23=, φ(n)=18∙22=396, d=439.
НОК(18,22)=18∙22/2=198.
d mod φ(n)=43. d mod НОК(p–1,q–1)=43.
Число d=439 в двоичном представлении есть 110110111. Поэтому возведение в степень d c применением дихтономического алгоритма (см. гл.2) требует 8 возведений в квадрат и 6 умножений чисел.
Число 43 в двоичном представлении есть 101011. Возведение в степень 43 требует 5 возведений в квадрат и 3 умножения чисел. Кроме того, для вычисления φ(n) требуется 1 операция умножения.
Таким образом, для данного примера экономия времени составляет 2 сложные операции.
В случае больших простых делителей числа n экономия оказывается более существенной.
Дата добавления: 2018-11-26; просмотров: 891;