Общие понятия теории графов

Графом называется набор точек (эти точки называются вершинами), некоторые из которых объявляются смежными (или соседними). Считается, что смежные вершины соединены между собой ребрами (или дугами).

Таким образом, ребро определяется парой вершин. Два ребра, у которых есть общая вершина, также называются смежными (или соседними).

Граф называется ориентированным (или орграфом), если некоторые ребра имеют направление. Это означает, что в орграфе некоторая вершина может быть соединена с другой вершиной, а обратного соединения нет. Геометрически граф часто изображают точками плоскости, причем соседние вершины соединены дугами (для орграфа некоторые дуги имеют направление, что обычно отмечают стрелкой).

Помимо этого, в теории графов рассматриваются также мультиграфы – это такие графы, в которых могут быть петли (т. е. некоторая вершина соединена сама с собой ребром) или некоторые пары вершины могут быть соединены между собой несколькими ребрами.

Маршрут в графе – это последовательность соседних (смежных) вершин. Ясно, что можно определить маршрут и как последовательность смежных ребер (в этом случае ребра приобретают направление). Заметим, что в маршруте могут повторяться вершины, но не ребра. Маршрут называется циклом, если в нем первая вершина совпадает с последней.

Путь в графе (иногда говорят простой путь) – это маршрут без повторения вершин (а значит, и ребер).

Контур – это цикл без повторения вершин, за исключением первой вершины, совпадающей с последней.

Последовательности вершин (рис. 1): 1–2–3–4–2–5 не простой путь, а маршрут; последовательности 1–2–3–4–7–5 и 1–2–5 – простые пути; 1–2–3–4–2–5–6–1 –это цикл (но не контур); 1–2–5–6–1 – это контур.

Если имеется некоторый маршрут из вершины t в вершину s, заданный в виде последовательности ребер, которые в этом случае приобрели направление, и если в этот маршрут входит ребро, соединяющее вершины (i, j), то это ребро по отношению к вершине i называют иногда прямой дугой, а по отношению к вершине j – обратной дугой (или обратным ребром).

Граф называется связным, если любые две его вершины можно соединить маршрутом (или путем). На рис. 1 изображен связный граф.

Ребро, при удалении которого граф перестает быть связным, иногда называют мостом или перешейком.

Следующее определение имеет смысл только для графов или мультиграфов без петель (но не для орграфов).

Степень вершины – это число ребер, входящих в эту вершину. Вершина называется висячей, если ее степень равна единице.

Лемма 1. Если степень всех вершин в графе больше или равна двум, то граф обязательно содержит контур.

Доказательство. Действительно, выйдя из некоторой вершины и войдя в другую, всегда можно выйти из нее по другому ребру , так как степень вершины больше или равна двум. Выйти из вершины по новому ребру невозможно только в том случае, если эта вершина уже встречалась, а это означает, что можно выделить контур из вершин этого графа.

Именно с задач, поставленных и решенных Леонардом Эйлером, началась теория графов. Философ Иммануил Кант, гуляя по городу Кенигсбергу (сейчас этот город называется Калининград), поставил задачу (1736), известную в математике как задача о семи кенигсбергских мостах: можно ли пройти по всем этим мостам и при этом вернуться в исходную точку так, чтобы по каждому мосту пройти только один раз. Наш петербургский знаменитый математик швейцарского происхождения Леонард Эйлер блестяще решил эту задачу. На рис. 2 изображена схема семи мостов Кенигсберга (заметим, что сейчас осталось только два из них), а также мультиграф, соответствующий этой схеме (при построении графа считалось, что каждый берег реки и острова – это вершины графа, а мосты – его ребра; видно, что в данном случае у нас получился мультиграф без петель).

В соответствии с поставленной Кантом (и решенной Эйлером) задачей можно дать следующие определения:

Граф (или мультиграф без петель) называется эйлеровым, если существует цикл без повторения ребер (такой цикл называют эйлеровым), обходящий все вершины графа. Граф называется полуэйлеровым, если существует маршрут без повторения ребер (эйлеров путь), обходящий все ребра графа ровно один раз. На рис. 3 изображены: а – эйлеров граф, б – полуэйлеров граф и в – граф, не являющийся ни эйлеровым, ни полуэйлеровым (люди старшего поколения знают, что в школах раньше было много загадок типа “можно ли нарисовать данную фигуру не отрывая ручку от бумаги”, что и соответствует эйлерову или полуэйлерову графу).

Теорема (Эйлер). Для того чтобы данный связный граф (не орграф, но, возможно, мультиграф без петель) был эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы степени всех вершин были четными.Данный связный граф будет полуэйлеровым тогда и только тогда, когда степени двух вершин будут нечетными, а степени остальных вершин – четными.

Матрицы в графах

Трудно переоценить роль матриц в теории графов (в частности, матрицы полезны, чтобы данный граф более “легко” воспринимался компьютером). Перечислим наиболее известные матрицы.

1. Матрица смежности. Это квадратная матрица порядка п (п – число вершин), в которой нули стоят по главной диагонали (если в графе нет петель, а если петли есть в вершине k (и число этих петель равно р), то на главной диагонали в строчке с номером k стоит число р). Если вершина i связана с вершиной j одним ребром, то элемент матрицы смежности a_ij равен 1, если эти вершины связаны s ребрами, то а_ij= s. Аналогичным образом строятся матрицы смежности для орграфов и для мультиграфов.

Легко видеть, что матрица В =А² = АА составлена из целых чисел b_ij, которые равны числу путей длины 2, соединяющих вершины i и j. Понятно, что А³ составлена из чисел, равных числу путей длины 3 (т. е. путей из 3-х ребер) из вершины i в вершину j и т. д.

2. Матрица инциденций – это матрица размера n m, где n – число вершин, а m – число ребер графа, при этом ее элементы k_ij равны 1, если вершина с номером i является для ребра с номером j начальной или конечной (если ребро неориентировано) и начальной для ориентированных ребер. Заметим, что матрица инциденций сравнительно редко используется, так как в современных условиях (где число ребер часто очень велико) она имеет слишком большое число столбцов.

3. Структурная матрица. Именно эта матрица имеет особое значение в теории сетей связи. Структурная матрица – это символьная матрица порядка п. Она составляется следующим образом: на главной диагонали стоит 1, т. е. a_ii = 1, остальные элементы – это символьные обозначения ребер (если вершины i и j не соединены ребром, то a_ii = 0). При этом, если при i<j вершины i и j соединены ребром а, то элемент s_ij = a, при i>j – это отрицание а, которое обычно отмечается чертой сверху. Если связи вершины i c вершиной j нет, то соответствующий элемент равен 0, структурная матрица может составляться и для орграфа и для мультиграфа без петель (здесь если два ребра а и b соединяют две вершины, то соответствующий элемент при i <j равен a b, а при i>j этот элемент равен

Отметим, что в учебных целях, когда действия с матрицами осуществляются студентами “вручную” (число вершин в графе невелико), можно обозначать ребра латинскими буквами без индексов a, b, c и т. д., но при использовании компьютера гораздо удобнее обозначать ребра а(i,j), если это ребро соединяет вершины i и j при i<j и с чертой сверху, если i>j.

Теорема. Для того чтобы найти все пути (простые) из вершины i в вершину j достаточно раскрыть минор M(j,i) структурной матрицы методами булевой алгебры. При этом раскрытие минора производится обычными действиями с определителями, но при этом сложение заменяется дизъюнкцией, умножение – конъюнкцией, знаки умножения на числа не используются.

Подробно доказывать эту теорему не будем, но отметим, что определитель равен сумме (в данном случае дизъюнкции) элементов, взятых по одному из каждой строчки и каждого столбца с определенным знаком. В нашем случае знаки не присутствуют, а значит, любой член раскрытия определителя всей структурной матрицы S соответствует циклу в графе. Если же брать минор M(j,i), то его раскрытие соответствует тем членам определителя, в которых имелся элемент s(j,i), но без самого этого элемента (таким образом, индексы i и j встречаются вместо двух только один раз). Это и означает, что получаем маршрут от вершины с номером i к вершине с номером j.

Понятно, что раскрытие минора методами булевой алгебры предусматривает, что верны следующие соотношения: 1 a = 1, (это свойство нужно, для того чтобы не проходить по одному ребру дважды в противоположных направлениях), а также используется правило простого поглощения (х ху = х). Видно, что если не использовать правило поглощения, то получим все маршруты (без повторения ребер), связывающие вершины i и j.

Примечание. 1. Если граф не ориентирован, то миноры M(j,i) и M(i,j) совпадают.

2. После получения ответа, черточки над обозначениями ребер (т. е. отрицания) можно убрать (на самом деле “черта” над ребром означает, что ребро проходится от вершины с большим номером к вершине с меньшим номером). Затем рекомендуется записать каждый путь по порядку прохождения ребер (в этом случае удобны обозначения ребер с индексами вершин).

Сечением (разрезом) между вершинами i и j называется неизбыточный набор ребер, при удалении которых из графа теряется связь между данными вершинами (не существует пути из вершины i в вершину j). Заметим, что сечений между данными вершинами может быть много, и они могут содержать разное количество ребер.

Слово “неизбыточный” означает, что если любое ребро из сечения снова возвратить в граф, то связь восстановится.

Естественно, что если известны все пути из вершины i в вершину j, причем эти пути заданы в виде ДНФ, т. е. дизъюнктивной нормальной формы (а именно такой вид получается после раскрытия соответствующего минора структурной матрицы), то все сечения между этими вершинами можно получить отрицанием этих путей (по правилу де Моргана конъюнкцию заменить на дизъюнкцию и наоборот), затем полученное выражение снова привести к ДНФ, используя раскрытие скобок по обычным правилам, при этом правило поглощения обеспечит неизбыточность набора ребер в каждом сечении. Ясно, что знаки отрицания (черточки над символами ребер) можно опустить. Пример на эту тему приведен в разд. 15 (примеры решения типовых задач).