Теорема деления (теорема о делении с остатком)
Основные понятия и теоремы.
Предмет теории чисел – целые числа и их свойства.
Множество целых чисел обозначается символом Z, символом Z+ обозначается множество целых положительных чисел, символом N– множество натуральных чисел. Латинскими малыми буквами здесь и далее будем обозначать целые числа.
Заметим, что
То есть как сумма, так и произведение целых чисел также являются целыми числами. Частное двух целых чисел не всегда является целым числом.
Если , (b≠0) , Тогда говорят, что а делится на b, или b делит а, и пишут b\a. Тогда а называем кратным числа b, а b – делителем числа а.
Справедливы следующие
Теоремы:
(1) m\a, b\m b\a.
Доказательство:
m\a a=ma1;
b\m m=bm1 a=bm1a1. Обозначив b1=a1m1, получим a=bb1, причем b\a.
□
(2) Если в равенстве вида k+l+…+n=p+q+…+s относительно всех членов кроме одного известно, что они кратны b, то и один оставшийся член тоже кратен b.
Доказательство:
Не нарушая общности, предположим, что таким членом (относительно кратности которого числу b ничего не известно) является k.
Тогда l1, …, n1, p1, q1, …, s1: l=bl1,…, n=bn1, p=bp1, q=bq1, …, s=bs1.
Тогда k=p+q+…+s–l–…–n=bp1+bq1+…+bs1–bl1–…–bn1=b(p1+q1+…+s1–l1–…–n1)
Обозначим k1= p1+q1+…+s1–l1–…–n1. Очевидно, k1 – целое число, причем k=bk1 Тогда, по определению делимости, b\k.
□
Кроме того, очевидны следующие свойства:
1) a\0, 1\a, a\a.
2) a\b, b\a a=±b.
3) a\b, a\c a\(bx+cy).
(Доказательство св-ва 3: b=ab1, c=ac1 bx+cy=ab1x+ac1y=a(b1x+c1y))
Теорема деления (теорема о делении с остатком)
единственная пара чисел 0 ≤ r < b: a=bq+r *
Доказательство:
Возьмем q: bq≤a, b(q+1)>a. Такое целое q, очевидно, существует r=a–bq является целым положительным числом как разность двух целых чисел, первое из которых больше второго. Причем выполняется . Построением такого r доказано существование разложения (*).
Теперь докажем единственность разложения (*): предположим, что кроме построенного выше, имеется еще одно разложение числа a:
a=bq1+r1, 0≤r1<b.
Вычтем полученное равенство из равенства (*) почленно. Получим
0=b(q–q1)+(r–r1). **
Поскольку b\0, b\b(q–q1), то по теореме 2, b\(r–r1).
С другой стороны, 0≤r<b, 0≤r1<b |r–r1|<b. Отсюда и из того, что b\(r–r1), следует, что r–r1=0, и тогда r=r1. Подставляя полученное равенство в (**), получаем 0=b(q–q1).
Но по условию теоремы, b≠0 , тогда q–q1=0 q=q1.
Таким образом, оба построенных разложения числа a совпадают, а значит разложение (*) единственно.
□
В разложении (*) число q называются неполным частным, r – остатком от деления a на b.
Дата добавления: 2018-11-26; просмотров: 997;