Теорема деления (теорема о делении с остатком)


Основные понятия и теоремы.

Предмет теории чисел – целые числа и их свойства.

Множество целых чисел обозначается символом Z, символом Z+ обозначается множество целых положительных чисел, символом N– множество натуральных чисел. Латинскими малыми буквами здесь и далее будем обозначать целые числа.

Заметим, что

То есть как сумма, так и произведение целых чисел также являются целыми числами. Частное двух целых чисел не всегда является целым числом.

Если , (b≠0) , Тогда говорят, что а делится на b, или b делит а, и пишут b\a. Тогда а называем кратным числа b, а bделителем числа а.

Справедливы следующие

Теоремы:

(1) m\a, b\m b\a.

Доказательство:

m\a a=ma1;

b\m m=bm1 a=bm1a1. Обозначив b1=a1m1, получим a=bb1, причем b\a.

(2) Если в равенстве вида k+l++n=p+q++s относительно всех членов кроме одного известно, что они кратны b, то и один оставшийся член тоже кратен b.

Доказательство:

Не нарушая общности, предположим, что таким членом (относительно кратности которого числу b ничего не известно) является k.

Тогда l1, …, n1, p1, q1, …, s1: l=bl1,…, n=bn1, p=bp1, q=bq1, …, s=bs1.

Тогда k=p+q++s–l––n=bp1+bq1++bs1–bl1–bn1=b(p1+q1++s1–l1–n1)

Обозначим k1= p1+q1++s1–l1–n1. Очевидно, k1 – целое число, причем k=bk1 Тогда, по определению делимости, b\k.

Кроме того, очевидны следующие свойства:

1) a\0, 1\a, a\a.

2) a\b, b\a ab.

3) a\b, a\c a\(bx+cy).

(Доказательство св-ва 3: b=ab1, c=ac1 bx+cy=ab1x+ac1y=a(b1x+c1y))

Теорема деления (теорема о делении с остатком)

единственная пара чисел 0 ≤ r < b: a=bq+r *

Доказательство:

Возьмем q: bqa, b(q+1)>a. Такое целое q, очевидно, существует r=abq является целым положительным числом как разность двух целых чисел, первое из которых больше второго. Причем выполняется . Построением такого r доказано существование разложения (*).

Теперь докажем единственность разложения (*): предположим, что кроме построенного выше, имеется еще одно разложение числа a:

a=bq1+r1, 0≤r1<b.

Вычтем полученное равенство из равенства (*) почленно. Получим

0=b(q–q1)+(rr1). **

Поскольку b\0, b\b(qq1), то по теореме 2, b\(rr1).

С другой стороны, 0≤r<b, 0≤r1<b |r–r1|<b. Отсюда и из того, что b\(rr1), следует, что r–r1=0, и тогда r=r1. Подставляя полученное равенство в (**), получаем 0=b(q–q1).

Но по условию теоремы, b≠0 , тогда q–q1=0 q=q1.

Таким образом, оба построенных разложения числа a совпадают, а значит разложение (*) единственно.

В разложении (*) число q называются неполным частным, rостатком от деления a на b.

 



Дата добавления: 2018-11-26; просмотров: 997;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.01 сек.