Связь между символами плоскостей и направлений (граней и ребер).
Зная символы 2-х плоскостей можно найти символы ребра (направления), по которому они пересекаются и наоборот. Символы плоскости (hkl) и направления [mnp] связаны между собой: h m+k n+l p = 0. Найдем символы ребра [mnp] по которому пересекаются две грани (h1k1l1) и (h2k2l2). Для этого необходимо решить систему уравнений:
h1 m + k1n + l1 p = 0
h2 m + k2 n + l2 h = 0 (2.3)
Решением системы уравнений являются детерминанты:
, , (2.4)
а отношение det-ов дает символ грани:
(2.5)
Аналогично можно найти символы грани по символам двух, лежащих на ней ребер:
(2.6)
Обратная решетка.
Обратная решетка представляет собой удобную абстракцию, позволяющую математически просто и точно описывать условия, в которых протекает то или иное явление в твердом кристаллическом теле. Каждой кристаллической структуре соответствуют две решетки: кристаллическая решетка и обратная решетка. Они связаны между собой соотношениями:
; ; . (2.7)
- векторы обратной решетки; - векторы прямой решетки. Векторы кристаллической решетки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решетки [длина]-1.
Так как , то скалярное произведение:
, (2.8)
. (2.9)
При построении обратной решетки векторы перепендикулярны соответственно , , и, обратно, векторы перпендикулярны парам векторов , , . Векторы прямой решетки связаны с векторами обратной решетки аналогичными формулами:
; ; ; (2.10)
где - объем элементарной ячейки обратной решетки: .
Свойства обратной решетки:
1. обратная и прямая решетки взаимно сопряжены;
2. решетка обратная обратной, есть исходная прямая решетка;
3. каждый узел [[mnp]]* обратной решетки соответствует семейству параллельных плоскостей (hkl) прямой решетки;
4. обратная решетка Бравэ сама является решеткой Бравэ.
Векторы трансляции связывают в прямой кристаллической решетке пары точек, которые имеют одинаковые атомные окружения. В обратном пространстве также вводится понятие трансляций, которые описываются векторами обратной решетки, образующих следующее семейство:
, (2.11)
где h, k и l – целые числа.
Если прямая решетка строго периодична, то обратная решетка, т.е. множество точек, удовлетворяющих условию (2.11), также периодична и бесконечна. Однако для решения тех задач, где удобно пользоваться представлением об обратной решетки, достаточно бывает ограничиться конечными объемом обратного пространства.
Элементарную ячейку Вигнера-Зейтца для обратной решетки называют первой зоной Бриллюэна. Первая зона Бриллюэна является зоной с наименьшим объемом. Она полностью ограничена плоскостями, которые делят пополам перпендикулярные к ним векторы обратной решетки, проведенные из начала координат.
Дата добавления: 2020-03-17; просмотров: 493;