Цель: научиться определять множества, отношения между ними, выполнять операции над множествами.

Определение 1:Множество представляет собой соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединённых по какому-либо признаку.

Обозначается А;B;C … или , где -элементы множества.

означает ”элемент принадлежит множеству А.”

означает ”элемент не принадлежит множеству А.”

Например: означает ”М-это множество натуральных чисел x таких, что каждое из них делится нацело на 2.”

Определение2: Множества А и В называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Определение3: Если любой элемент множества В является и элементом множества А, то множество В называют подмножеством множества А. Говорят, что множество В содержится в А или множество А содержит множество В .

Определение4: Пустое множество- множество не содержащее ни одного элемента.

Обозначается : .

Теорема: Пустое множество является подмножеством любого множества.

Определение 5: Степенью множества А называется множество всех подмножеств множества А.

Обозначается :

Например: тогда P(А)=

Теорема: Число элементов множества P(А) равно 2ⁿ, где n-число элементов множества А.

Например: для число элементов P(А) равно 2³=8.

Свойства множеств.

1. (любое множество является своим подмножеством.)

2. если А В, В Z, то А Z;

3. если А В, В А, то А=В

Операции над множествами.

1) Объединением или суммой двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат или множеству А или множеству В: А В={ или }. Например: А={1;2;8}, В={3;1}, тогда А В={1;2;3;8}.

A B

А В

2) Пересечением или произведением 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В: А В={ и }. Например: А={1;2;8}, В={3;1}, тогда А В={1}.

A

B

А В

Определение 6: Если А В= , то множества А и В называются непересекающимися.

3) Разностью множеств А и В называется множество, которое состоит из всех элементов множества А не принадлежащих множеству В:А\В={ }. Например: А={1;2;8}, В={3;1}, тогда А\В={2;8}.

A B

A\B

Определение 7: Если А В, то разность А\В называется дополнением множества P до множества.

Основные формулы алгебры множеств.

1)

2)

3)

4) коммутативность;

5)

6) дистрибутивность;

7)

8) ассоциативность.

Практическая часть.

1) Найти все элементы множества Е=

Решение: найдём решение неравенства

или

выберем из полученного решения

.

Таким образом

2) Найти а)множества А целых чисел, удовлетворяющих неравенству б)все подмножества найденного множества А; в) число элементов степени множества А.

Решение: найдём решение неравенства : или выберем целые числа , т.е.

- А={-1;0;1};

- определим степень множества А, т.е. все подмножества А Р(А)={ };

- число элементов множества Р(А) равно

3) Даны множества: А={-4;-3;-2;-1;0;1;2},

В={3;4;2;1;0;-1;-2},

С={-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4}.

Найти 1) объединение (дизъюнкцию) множеств А и В;

2) пересечение (конъюнкцию) множеств В и С;

3) разность множеств С и А;

4) дополнение множества А до С ;

5) А В С;

6) А В С;

7) (А\В) (В\С);

Решение:

1) согласно (1) А В={-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4}=С.

2) согласно (2) B C={-2;-1;0;1;2;3;4}.

3) согласно (3) C\A={4;3}.

4) дополнение множества А до С : M={3;4}.

5) (A B) C={-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4}=C; C C=C.

6) (A B) C={-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4}; A B={-2;-1;0;1;2}.

7) A\B={-4;-3}; B\C= ; (A\B) (B\C)={-4;-3}.