Тема: «Решение однородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка»


Цель: научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные I порядка.

 

I Основные понятия

О1:ДУ I-го порядка связывают независимую переменную х, искомую функцию y и её производную :

(1)

Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то его записывают в виде:

О2: Общим решением ДУ I-го порядка называется функция j(х; с); содержащая одну производную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1) функция j(х; с) является решением ДУ при каждом фиксированном с;

2) для любого начального условия такое, что функция j(х; с0) удовлетворяют данному начальному условию.

 

О3: Частным решением ДУ I-го порядка называется любая функция

у = j(х; с0), полученная из общего решения у=j(х;с) при конкретном значении постоянном с=с0.

II ДУ с разделяющимися переменными

Общий вид ДУ: *j(у) (2)

Или Р1(х)Q1(у)dx + Р2(х)Q2(у)dy = 0

Метод решения :

В уравнении *j(у) разделяем переменные:

Интегрируем обе части равенства:

III Однородные ДУ I-го порядка

Общий вид: у=f(x; y) удовлетворяет условию f(x;y) = f(lx; ly)

Метод решения: решаем заменой

IV Линейные ДУ

Общий вид: у+p(x)y=q(x), где p(x), q(x) – заданные функции (3)

Метод решения: Решение ищется в виде произведения двух функций:

(4)

Ход решения: Подставляем соотношение (4) в уравнение (3):

uv + uv + p(x)uv = q(x),

uv + u[v + p(x)v] = q(x),

Пусть v такое, что [] = 0

v + p(x)v = 0,

ln

ln ,

,

, c3=1

Итак:

v =

Подставим v в уравнение (5)

Т.к. , то y=

Замечание: уравнение Бернулли

решается с помощью той же замены (4)



Дата добавления: 2020-03-17; просмотров: 399;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.