Тема: «Решение однородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка»
Цель: научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные I порядка.
I Основные понятия
О1:ДУ I-го порядка связывают независимую переменную х, искомую функцию y и её производную :
(1)
Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то его записывают в виде:
О2: Общим решением ДУ I-го порядка называется функция j(х; с); содержащая одну производную постоянную и удовлетворяющая условиям:
1) функция j(х; с) является решением ДУ при каждом фиксированном с;
2) для любого начального условия такое, что функция j(х; с0) удовлетворяют данному начальному условию.
О3: Частным решением ДУ I-го порядка называется любая функция
у = j(х; с0), полученная из общего решения у=j(х;с) при конкретном значении постоянном с=с0.
II ДУ с разделяющимися переменными
Общий вид ДУ: *j(у) (2)
Или Р1(х)Q1(у)dx + Р2(х)Q2(у)dy = 0
Метод решения :
В уравнении *j(у) разделяем переменные:
Интегрируем обе части равенства:
III Однородные ДУ I-го порядка
Общий вид: у’=f(x; y) удовлетворяет условию f(x;y) = f(lx; ly)
Метод решения: решаем заменой
IV Линейные ДУ
Общий вид: у’+p(x)y=q(x), где p(x), q(x) – заданные функции (3)
Метод решения: Решение ищется в виде произведения двух функций:
(4)
Ход решения: Подставляем соотношение (4) в уравнение (3):
u’v + uv’ + p(x)uv = q(x),
u’v + u[v’ + p(x)v] = q(x),
Пусть v такое, что [] = 0
v’ + p(x)v = 0,
ln
ln ,
,
, c3=1
Итак:
v = |
Подставим v в уравнение (5)
Т.к. , то y=
Замечание: уравнение Бернулли
решается с помощью той же замены (4)
Дата добавления: 2020-03-17; просмотров: 399;