Тема: ” Числовые и степенные ряды. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функции”.

Цель: исследовать данные ряды на сходимость.

Числовые ряды

О: Числовым рядом называют выражение вида , где -члены ряда; U_n –общий член ряда.

I. Схема исследования на сходимость положительных числовых рядов.

1. Выписать 3 первых члена ряда.
2. Проверить выполнение необходимого условия сходимости (н.у.с.) ряда, т.е.

НУС выполненоНУС не выполнено

Продолжить исследования, Вывод: ряд расходится

Применив один из трёх признаков:

1. признак сравнения
2. признак Коши
3. признак Даламбера

Сделать вывод.

Т1: (признак сравнения) пусть ряды (1) и (2) - положительные и

Тогда 1) если ряд (1) расходится, то ряд (2)-расходиться.

2) если ряд (2) сходится, то ряд (1)-сходиться.

Т2: (признак сравнения) пусть ряды (1) и (2) - положительные и существует , тогда ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Замечание.

1) Удобно ввести сравнение с гармоническим рядом.

2) Формулы эквивалентности:

а) ~arcsinx~arctgx~e^x-1~ln(x+1)~x,

б) a^x-1~xlna,

в) log_a(1+x)~

3) ”шкала роста функций”

ln n <<eⁿ<<n!<<nⁿ,

(*)

Т3: (признак Коши) Пусть ряд -положительный и . Тогда:

1. Если К>1, то ряд расходится.
2. Если К<1, то ряд сходится.
3. Если К=1, то необходимы дополнительные исследования.

Т4: (признак Даламбера) Пусть ряд положительный и . Тогда:

1. Если Д<1, то ряд сходится.
2. Если Д>1, то ряд расходится.
3. Если Д=1, то необходимы дополнительные исследования.

II. Схема исследования знакочередующихся рядов.

1. выписать 3-4 первых члена ряда.
2. исследовать на абсолютную сходимость. Составить ряд из модулей (4) и исследовать его на сходимость (см. схему исследования I.).

(4) сходится(4) расходится

Вывод: (3) сходится абсолютно Вывод для ряда (3)

нет абсолютной сходимости

исследовать ряд (3) на условную сходимость, применив признак Лейбница

Т5: (признак Лейбница) Ряд сходится, если:

1. монотонно убывает, т.е.

2.