Цель: научиться интегрировать функции различными методами, а так же вычислять определённые интегралы.

Неопределённым интегралом от функции называется совокупность первообразных для этой функции;

Обозначается: , где

Свойства неопределённого интеграла:

1. 4.
2. 5.
3. 6.

Методы вычисления:

1. Непосредственный (с помощью формул и свойств).

2. Метод замены переменной (вводится подстановка или ).

3. Метод по частям (используется формула ).

Основные формулы интегрирования:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы функции при достаточно мелком разбиении

Обозначается: , где а – верхний, b – нижний предел интегрирования.

Свойства определённого интеграла:

1.

2.

3.

4.

Методы вычисления:

1. непосредственный (с помощью свойств и формулы Ньютона-Лейбница: );
2. метод подстановки (
3. метод интегрирования по частям (используется формула

Практическая часть

Найти интегралы:

4.

1. 
2. =
3. 

=

=

=

Тема: ”Действия над комплексными числами, заданными в алгебраическом виде. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме”

Цель: научиться выполнять действия над комплексными числами, изображать их

Определение: Комплексными числами называются числа вида z=x+iy, где x;y а число i, определяемое равенством i²=-1, называется мнимой единицей, если для этих чисел выполняются условия:

z₁=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂.

1) z₁=z₂ ó

2) z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂);

3)

Множество комплексных чисел обозначается С.

* Запись z=x+iy называется алгебраической формой записи комплексных чисел.

x=Rez – действительная часть комплексных чисел.

y=Jmz-мнимая часть комплексных чисел.

Любое действительное число содержится во множестве комплексных чисел: x=2 ó z=2+ т.е. R

Числа вида (или ) называют чисто мнимыми к.ч.

Число называются сопряжённым числу

Числа и - противоположные к.ч.

Геометрически к.ч. изображаются либо точками (x;y), либо радиус-векторами точек (x;y) на комплексной координатной плоскости (х – действительная ось, у – мнимая ось).

Длина радиус-вектора точки (x;y) называется

y модулем к.ч., обозначается

y z=x+iy Угол, образованный радиус вектором и

r положительным направлением действительной оси

0 называется аргументом к.ч. и обозначается

x x

Если точка (x;y) находится:

в I четверти, то

в II четверти, то

в III четверти, то

в IV четверти, то

Например:

1. z=1-i; y так как (1;-1) IV четверти, то

0 1 х

-1

y

2. z=-2; ,

-2 0 x

3. z=3i; y ,

o x

I. Действия над к.ч. в алгебраической форме:

1) Сложение

2) Вычитание

3) Умножение

4) Деление

5) Возведение в степень (формула Муавра):

6) Извлечение корня из n-й степени

* Тригонометрическая форма записи комплексных чисел имеет вид z=r

Например: z=-2+2i; r=

y

2

-2 x

II. Действия над к.ч.в тригонометрической форме.

1)Сложение удобней выполнять в алгебраической форме

2)Вычитание

3)Умножение

4)Деление

5)Возведение в степень

6)Извлечение корня n-й степени

, где k=0;1;2;…n-1.

* Показательная форма записи к.ч.

III. Действия над к.ч. в показательной форме.

1)Сложение удобней выполнять в алгебраической форме

2)Вычитание

3)Умножение

4)Деление

5)Возведение в степень

6)Извлечение корня n-й степени , где k=0;1;…,n-1.

Практическая часть

1) Найти модуль и аргумент числа

*Выполним деление согласно правилу I.4) :

Найдём модуль к.ч. z : и аргумент к.ч. z 1 z=1+i

( I четверти). 0 1 х

2)Выполнить действия и результат представить в показательной форме.

Найдём модуль r= и аргумент y

Запишем z в показательной форме z=2 x

3) Возвести в степень по формуле Муавра .

*Найдём модуль и аргумент числа у

Запишем число в тригонометрической форме: -1 0 х

Возведём число z согласно формуле Муавра II.5)

y

0 512 x

4) Решить уравнения :

а)

Представим число в показательной форме:

Извлечём согласно формуле III.6)

, где k=0;1.

б)

Пусть и данное уравнение примет вид

Найдём модули и аргументы чисел и :

Запишем числа и в показательной форме

Извлечём и согласно правилу III.6)

(k=0;) (k=1;) (k=0;) (k=1;)

y

0 2 x