Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то числовые характеристики непрерывной случайной величины находят по формулам:

, (10.27)

, . (10.28)

Если все возможные значения случайной величины принадлежат конечному интервалу , то пределы интегрирования в приведенных выше формулах заменяются соответственно на , на .

Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин переносятся и на случай непрерывных случайных величин.

Пример 1.Найти математическое ожидание, дисперсию исреднее квадратическое отклонение случайной величины Х, если известен ее закон распределения:

Решение.

1. Математическое ожидание вычисляем по формуле:

.

2. Дисперсию вычислим по формуле:

9,84.

3. Среднее квадратическое отклонение вычисляем по формуле:

.

Пример 2.Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Найти функцию распределения вероятностей и построить ее график.

Решение.

По формуле

получаем:

если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то .

Искомая функция распределения имеет вид

Построим график этой функции:

X

F(x)

0,3

0,8

Пример 3.Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей F(x). Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей f(x); б) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение; в) построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).

Решение.

1. Плотность распределения вероятностей

2. Математическое ожидание

3. Дисперсия

4. Среднее квадратическое отклонение

.

5. График функции распределения F(x):

График плотности распределения f(x):