Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

f(x)=F'(x) (10.25)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Свойства плотности распределения:

1⁰. Плотность распределения – неотрицательная функция: , т.к. F(x) – неубывающая функция.

2⁰. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , определяется равенством:

. (10.26)

Геометрически – это значит, что вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f (x) и прямыми х = а, х = b.

3⁰. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от –∞ до +∞ равен единице:

.

Геометрически – это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.

Частный случай. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

.