Функция распределения случайной величины

Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Естественно, встает вопрос о том, нельзя ли охарактеризовать случайную величину иным способом, одинаково годным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины, т.к. полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, то есть является одной из форм закона распределения.

Функцией распределения вероятностейназывают функцию F(x), определяемую формулой:

. (10.24)

Свойства функции распределения:

1⁰. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:

.

2⁰. Функция распределения есть неубывающая функция:

, если .

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в промежутке (a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a<X<b)=F(b)–F(a).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, например x₁, равна нулю: P(X=x₁)=0.

3⁰. Если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a; b), то

F(x)=0 при ; F(x)=1 при .

Следствие. Справедливы следующие предельные соотношения:

, .

Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной функцией со скачками в точках, являющихся значениями случайной величины; величины скачков равны вероятностям, с которыми эти значения принимаются, т.е. если –дискретная случайная величина, то .