Критерий максимума правдоподобия

Иногда выделение информации из принятого колебания долено производиться таким образом, чтобы была минимальной сумма условных вероятностей всех возможных ошибок. В частности, это может иметь место тогда, когда априорное распределение вероятностей неизвестно и его логично считать равномерным. В качестве упражнения предлагаем читателям доказать, что правило решения для этого критерия записывается так:

l(S₁) / l(S₂) 1

или, после несложных преобразований, в таком виде:

q₁ q₂.

5.7. Оптимальный прием полностью известных
(детерминированных) сигналов

В некоторых видах каналов связи информативным параметром сигнала является сам факт передачи того или иного сигнала, а остальные параметры сигналов: форма, энергия, время существования заранее известны на приемном конце канала связи. Рассмотрим структуру и характеристики приемников бинарных сигналов при таких условиях.

Приемник, оптимальный по критерию Байеса.

Функция решения, соответствующая критерию Байеса, определяется выражением (5.15):

.

При приеме полностью известных сигналов величины Е₁, Е₂, P_a(S₁), P_a(S₂), N₀ и форма сигналов S₁(t) и S₂(t), а также моменты их качала и окончания заранее известны на приемном конце канала связи. Следовательно, вместе приема можно воспроизвести эти сигналы и построить обрабатывающее устройство, работающее по правилу (5.15). Один из возможных вариантов структурной схемы такого приемника представлен на рис. 5.2.

Рис. 5.2

Определим минимальное значение функции потерь, соответствующее оптимальной обработке. До приема колебания ∆ величина ∆q, является случайной, т.к. в подынтегральную функцию (5.10) входит случайная функция n(t). Нами было принято условие, что помеха является стационарной с гауссовым распределением вероятностей, следовательно, и случайная величина ∆q также имеет гауссово распределение вероятностей, причем это распределение зависит от того какой из сигналов: S₁ или S₂ находится в принимаемой смеси.

Определим числовые характеристики случайной величины ∆q.

В случае, когда y(t) = n(t) + S₁(t), передавался сигнал S₁.

,

где .

Математическое ожидание

,

дисперсия

.

Т.к. n(t) – белый шум

,

откуда

.

При y(t) = n(t) + S₂(t), передавался сигнал S₂

,

.

На рис. 5.3 приведены графики плотностей вероятности случайных величин W(∆q₁) и W(∆q₂), умноженные соответственно на bP_a(S₁) и aP_a(S₂).

Рис. 5.3.

В соответствии с правилом решения (5.15) полученное в результате обработки принятой смеси значение ∆q сравнивается с величиной h_opt, которую назовем оптимальным пороговым значением. При условии
∆q > h_opt принимается решение о наличии в принятой смеси y(t) сигнала S₁(t), при ∆q < h_opt о наличии сигнала S₂(t).

Примем сперва в качестве порогового случайно взятое значение ∆q_пор = h. Тогда площадь, ограниченная кривой bP_a(S₁)W(∆q/S₁) и осью абсцисс слева от порогового значения ∆q_пор будет равна bP_a(S₁)Р(S₂/S₁), а площадь справа от порогового значения, ограниченная левой кривой, будет равна aP_a(S₂)Р(S₁/S₂). Сумма этих величин в соответствии с выражением (5.11) равна функции потерь. Меняя значение ∆q_пор, можно менять величину z. Нетрудно убедиться, что минимальное значение функции потерь соответствует величине h_opt = ∆q_п, определяющейся точкой пересечения кривых на рис. 5.3. Это оптимальное значение порога равно:

h_opt = ln (bP_a(S₁) / aP_a(S₂)) + (E₂ – E₁)/N_0.

Итак, минимальное значение функции потерь в рассматриваемом случае равно

Из приведенных выражений следует, что при увеличении отношения сигнал-помеха (например, при увеличении энергии сигналов Е₁ и Е₂ при неизменной величине N₀) функция потерь уменьшается.

Оптимальный приемник по критерию Котельникова

Как уже указывалось, правило решения по критерию Котельникова можно получить из правила решения по критерию Байеса, приняв a = b = 1. Это означает, что структура приемника Котельникова совпадает со структурой приемника Байеса, а различие сводится только к различию в величине оптимального порога, с которым сравнивается полученное в результате обработки значение ∆q.

Заштрихованная на рис. 5.3 площадь в этом случае равна суммарной вероятности ошибок в опознавании сигнала при приеме на фоне белого шума.

Сравним потенциальные значения помехоустойчивости приемника Котельникова в системах с разными видами манипуляции.

1. Оптимальный прием амплитудно-манипулированных сигналов.

При амплитудной манипуляции одним из сигналов (назовем, его сигналом S₂), является пауза (отсутствие сигнала). При этом

Е₂ = 0, К₁₂ = 0, m(q₂) = 0, m(∆q₁) = 2E₁/N₀,

нормированное значение оптимального порога H = h_opt/σ_∆q и

,

где x = ∆q / σ_∆q, M = m(∆q) / σ_∆q.

Как известно, для увеличения скорости передачи информации передаваемые сообщения кодируют так, чтобы все символы были равновероятными, т.е. P_a(S₁) = P_a(S₂) = 1/2. Для бинарного канала это означает, что

h_opt = E₁/N₀, .

Тогда

.* (5.18)

2. Оптимальный прием при частотной манипуляции.

В бинарном канале связи с частотной манипуляцией сигналы представляют собой прямоугольные радиоимпульсы одинаковой длительности с одинаковыми амплитудами, но различными несущими частотами.

В этом случае

Е₁ = Е₂, m(∆q₁) = -m(q₂) = 2E_s/N₀, К₁₂ = 0, σ_∆q = 4E_s/N₀

и суммарная вероятность ошибки

. (5.19)

3. Оптимальный прием с фазовой манипуляцией.

В канале с фазовой манипуляцией сигналы представляют собой прямоугольные импульсы одинаковой длительности и амплитуды с одинаковой несущей частотой, но противоположными начальными фазами. При этом

Е₁ = Е₂, TК₁₂ = -E, m(∆q₁) = -m(q₂) = 4E/N₀, σ_∆q = 8E/N₀

и суммарная вероятность ошибки

. (5.20)

Сравнение приведенных результатов показывает, что при прочих равных условиях наибольшей помехоустойчивостью обладает система с фазовой манипуляцией и наименее помехоустойчива система с амплитудной манипуляцией, этот результат объясняется тем, что в пространстве решений расстояние между различаемыми сигналами максимально для системы с фазовой манипуляцией и минимально для системы с амплитудной манипуляцией.

Литература:

[1] стр. 160-162. [2] стр. 173-180. [3] стр. 168-174.

Контрольные вопросы:

1. Что такое оптимальный приемник?

2. Чем отличается оптимальный приемник Котельникова от оптимального приемника Байеса?

3. Как влияет вид модуляции сигнала на помехоустойчивость оптимального приемника Котельникова?