Геометрическая и энергетическая интерпретация уравнения Бернулли

Для определения геометрического смысла уравнения Бернулли рассмотрим элементарную струйку движущейся жидкости относительно произвольно выбранной плоскости сравнения (рис. 1.16). Выберем три сечения: 1 - 1; 2 - 2; 3 - 3; центры тяжести которых относительно плоскости сравнения 0 - 0 расположены на высотах z₁; z₂; z₃.

В центры тяжести выбранных сечений установим пьезометры и трубки Пито. Трубка Пито - это изогнутая под углом 90⁰ трубка, устанавливаемая отверстием наконечника против течения. Под действием давления жидкость в пьезометрах поднимается на высоту

В трубках Пито, под действием давления и скорости жидкость поднимается выше уровня в пьезометрах на высоту (рис. 1.16).

рис. 1.16

Как видно, все члены в уравнении Бернулли представляют собой геометрические высоты и имеют размерность длины.

Так как сумма трех членов , z и для идеальной жидкости постоянна вдоль оси струйки, то уровни жидкости в трубках Пито, установленных в различных сечениях будут всегда лежать в одной горизонтальной плоскости, называемой напорной плоскостью, т.е. напорная линия E - E (рис. 2) горизонтальна. В этом состоит геометрический смысл уравнения Бернулли для идеальной жидкости.

Если плавной кривой соединим уровни жидкости в пьезометрах, то получим пьезометрическую линию P - P (рис. 2), которая может подниматься или опускаться, но никогда не пересекается с напорной линией.

Сумма трех высот называется полным напором и обозначается Н_g, т.е. полный напор представляет собой сумму пьезометрического и скоростного напоров:

(1.39)

С энергетической точки зрения уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии. Полный напор - это полная удельная механическая энергия жидкости в рассматриваемом сечении. Сумма трех членов есть сумма трех удельных энергий: удельной потенциальной энергии давления , удельной потенциальной энергии положения z, удельной кинетической энергии . Для идеальной жидкости сумма трех удельных энергий (полный напор) по длине струйки есть величина постоянная.

Рис.1.17

Реальная жидкость, в отличии от идеальной, обладает вязкостью. При движении реальной жидкости ее вязкость обуславливает сопротивление движению и вызывает потерю части энергии, поэтому полный напор уменьшается по длине струйки. Следовательно, уровни жидкости в трубках Пито будут снижаться по ходу движения. Напорная линия Е - Е, проведенная по этим уровням для вязкой жидкости, будет наклонной, нисходящей. Разность между горизонтальными линиями Е - Е, проведенными на уровне жидкости в трубках Пито в сечениях 1 - 1 и 2 - 2, представляет потери напора на участке между этими сечениями (рис. 1.17).

Таким образом, для реальной жидкости можно записать

(1.40)

Или в развернутом виде

(1.41)

Потери напора, отнесенные к единице длины, выражают величину, которая называется гидравлическим уклоном:

(1.42)

где I - гидравлический уклон; l - расстояние между сечениями 1 - 1 и 2 - 2.

Величина гидравлического уклона вдоль струйки может изменяться, так как зависит от потерь напора на различных участках.

Изменение пьезометрического напора, отнесенное к единице длины, называется пьезометрическим уклоном.

(1.43)

где I_p - пьезометрический уклон; l - расстояние между сечениями 1 - 1 и 2 - 2.

Пьезометрический уклон может быть направлен как в сторону движения, так и в сторону, противоположную движению.

Для потока реальной жидкости уравнение Бернулли имеет вид

(1.44)

где v₁ и v₂ - средние скорости движения жидкости в рассматриваемых сечениях; ₁ и ₂ - коэффициенты кинетической энергии, величина которых зависит от степени неравномерности распределения скоростей по живому сечению потока.

Коэффициент выражает отношение действительной кинетической энергии K_д, определенной по истинным скоростям движения жидкости, к условной кинетической энергии K_у, определенной по средней скорости потока v:

(1.45)

При турбулентном режиме движения принимается равным 1,05- 1,1. При ламинарном режиме .