Преобразования случайных функций.

Сложение случайных функций. При сложении случайных функций, в общем случае, с произвольными постоянными коэффициентами а и b, и образовании случайной функции суммы

Z(t) = a×X(t) + b×Y(t)

функция математического ожидания процесса Z(t):

m_z(t) = M{Z(t)}= M{aX(t)+bY(t)}= a×M{X(t)}+b×M{Y(t)}= a×m_x(t)+b×m_y(t). (9.3.15)

Ковариационная функция суммы вычисляется аналогично и равна:

R_z(t₁,t₂) = M{Z(t₁)×Z(t₂)}= M{[aX(t₁)+bY(t₁)][(aX(t₂)+bY(t₂)]}=

= M{a²X(t₁)X(t₂)+b²Y(t₁)Y(t₂)+×ab[X(t₁)Y(t₂)+Y(t₁)X(t₂)]} =

= a²R_x(t₁,t₂)+b²R_y(t₁,t₂)+ab×[R_xy(t₁,t₂)+R_yx(t₁,t₂)]. (9.2.16)

Для некоррелированных функций X(t) и Y(t) функции взаимной ковариации R_xy и R_yx обнуляются. Аналогичную форму записи имеют и корреляционные функции (как частный случай ковариационных функций при центрировании случайных процессов). Выражения легко обобщаются на сумму любого числа случайных функций. В частности, для ковариационной функции стационарной случайной функции Z(t) = a_iX_i(t) при t₂-t₁ = t имеем:

R_z(t) = a_i²R_xi(t) + a_ia_jR_xixj(t). (9.3.16')

При сложении случайной функции X(t) с неслучайной функцией y(t) математическое ожидание и ковариационная функция суммы Z(t)=X(t)+y(t) равны:

m_z(t) = m_x(t) + y(t), R_z(t₁,t₂) = R_x(t₁,t₂). (9.3.17)

При сложении случайной функции X(t) с некоррелированной случайной величиной Y математическое ожидание и ковариационная функция суммы Z(t)=X(t)+Y:

m_z(t) = m_x(t) + m_y, R_z(t₁,t₂) = R_x(t₁,t₂) + D_y. (9.3.18)

Произведение случайной и неслучайной функций X(t) и f(t).Математическое ожидание и ковариационная функция выходного сигнала:

m_z(t) = M{Z(t)}= M{f(t)×X(t)}= f(t)×M{X(t)}= f(t)×m_x(t). (9.3.19)

R_z(t₁,t₂)=M{f(t₁)X(t₁) f(t₂)X(t₂)}= f(t₁)f(t₂)M{X(t₁)X(t₂)}= f(t₁)f(t₂)×R_x(t₁,t₂). (9.3.20)

Если f(t) = const = C и Z(t) = C×X(t), то соответственно имеем:

m_z(t) = С×m_x(t), R_z(t₁,t₂) = С²×R_x(t₁,t₂). (9.3.21)

Производная от случайной функции Z(t) = dX(t)/dt. Если функция X(t) является непрерывной и дифференцируемой, то математическое ожидание производной:

m_z(t) = M{Z(t)} = M{dX(t)/dt} = d(M{X(t)})/dt = dm_x(t)/dt, (9.3.22)

т.е. математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания. Для ковариационной функции имеем:

R_z(t₁,t₂) = M{(dX(t₁)/dt₁)(dX(t₂)/dt₂)}= M{X(t₁)X(t₂)}= R_x(t₁,t₂), (9.3.23)

т.е. ковариационная функция производной случайной функции равна второй смешанной частной производной от ковариационной функции исходной случайной функции.

Интеграл от случайной функции Z(t) = X(v)dv.

m_z(t) = M{Z(t)} = M{ X(v)dv} = M{X(v)}dv = m_x(v)dv, (9.3.24)

т.е. математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания. Для ковариационной функции имеем:

R_z(t₁,t₂) = M{ X(t₁)dt₁ X(t₂)dt₂} = M{ X(t₁)X(t₂)dt₁dt₂} =

= M{X(t₁)X(t₂)}dt₁dt₂] = R_x(t₁,t₂)dt₁dt₂, (9.3.25)

т.е. ковариационная функция интеграла от случайной функции равна двойному интегралу от ковариационной функции исходной случайной функции.

Преобразования стационарных случайных функцийвыполняются по вышеприведенным формулам и приводят к следующим результатам (вместо ковариационных функций приводятся корреляционные функции, которые обычно используются на практике).

Математическое ожидание выходного сигнала Z(t) входной стационарной случайной функции X(t) по (9.3.2):

m_z = h(t) _* m_x = m_x h(t) dt, (9.3.26)

Отсюда следует, что математическое ожидание выходных сигналов системы равно математическому ожиданию входных сигналов, умноженному на площадь (или сумму коэффициентов) импульсного отклика системы, т.е. на коэффициент усиления системой постоянной составляющей. Если система не пропускает постоянную составляющую сигналов (площадь или сумма коэффициентов импульсного отклика системы равна нулю), то случайный выходной сигнал всегда будет иметь нулевое математическое ожидание.

Сумма двух стационарных случайных функций X(t) и Y(t) дает стационарную случайную функцию Z(t), при этом:

m_z = m_x + m_y, D_z = D_x + D_y + 2K_xy(0). (9.3.27)

K_z(t₁,t₂) = K_z(t) = K_x(t) + K_y(t) + K_xy(t) + K_yx(t). (9.3.28)

Сумма стационарной случайной и неслучайной функций X(t) и y(t) нестационарна по математическому ожиданию:

m_z(t) = m_x + y(t), K_z(t) = K_x(t). (9.3.29)

Произведение стационарной случайной и неслучайной функций X(t) и y(t) - нестационарная случайная функция, так как:

m_z(t) = y(t)×m_x, D_z(t) = y²(t)×D_x. (9.3.30)

K_z(t,t) = y(t)y(t+t)K_x(t). (9.3.31)

Производная от стационарной случайной функции - стационарная случайная функция с математическим ожиданием m_z = 0 и корреляционными функциями:

K_z(t₁,t₂) = K_x(t₁-t₂) = - K_x(t) = K_z(t). (9.3.32)

K_zx(t) = d(K_x(t))/dt, K_xz(t) = -d(K_x(t))/dt. (8.3.33)

Из выражения (9.3.32) следует также, что для дифференцируемости X(t) необходимо, чтобы ее корреляционная функция была дважды дифференцируемой по t.

Интеграл от стационарной случайной функции - нестационарная случайная функция с математическим ожиданием m_z(t) = m_x(t)dt и функцией корреляции:

K_z(t₁,t₂) = K_x(u₁-u₂) du₁du₂. (9.3.34)

9.4. Модели случайных сигналов и помех [л33,л4].

Наиболее распространенными моделями случайных сигналов и помех являются телеграфный сигнал, белый шум, гауссовский случайный процесс, гауссовский шум.

Рис. 9.4.1. Телеграфный сигнал.

Телеграфный сигнал- это случайный процесс x_k(t), представляющий собой последовательность прямоугольных положительных и отрицательных импульсов со случайными длительностями и детерминированными значениями амплитуд c и -с, причем перемены знака внутри любого интервала (t, t+t) происходят с интенсивностью a в случайные моменты времени и не зависят от процессов в смежных временных интервалах. Если считать случайной величиной телеграфного сигнала значение n - количество перемен знака внутри интервала t, то распределение вероятностей значений n будет описываться законом Пуассона:

P(n) = (a|t|)² exp(-a|t|)/n! (9.4.1)

Рис. 9.4.2. Функция ковариации сигнала.

При вычислении ковариационной функции телеграфного сигнала каждое отдельное произведение x_k(t)x_k(t+t) равно либо с², либо -с² в зависимости от совпадения или несовпадения знаков x_k(t) и x_k(t+t), причем вероятность с² равна сумме вероятностей Р(0)+Р(2)+Р(4)+..., а вероятность -с² определяется соответственно суммой вероятностей Р(1)+Р(3)+Р(5)+... .

Следовательно:

R_x(t) = M{x_k(t)x_k(t+t)}= c² (-1)ⁿP(n) =

= c² exp(-a|t|) (-1)ⁿ(a|t)ⁿ/n! = c² exp(-2a|t|). (9.4.2)

Параметр a полностью определяет корреляционные и спектральные свойства телеграфного сигнала. При a Þ 0 характеристики сигнала приближаются к характеристикам постоянной составляющей, при a Þ ¥ - к характеристикам белого шума.

Интервал корреляции сигнала:

T_k = 2 (R_x(t)/c²) dt = 2/a. (9.4.3)

Отсюда следует, что чем больше a, тем меньше время корреляции процесса. При a Þ 0 T_k Þ ¥ и процесс вырождается в детерминированный (стремится к постоянной составляющей). При a Þ ¥ T_k Þ 0 и процесс вырождается в белый шум с некоррелированными отсчетами даже на соседних временных точках.

Рис. 9.4.3. Спектр сигнала.

Двусторонняя спектральная плотность сигнала:

S_x(w) = R_x(t) exp(-jwt) dt = ac²/(a²+w²). (9.4.4)

Односторонняя спектральная плотность:

G_x(w) = 2 R_x(t) exp(-jwt) dt = 2ac²/(a²+w²). (9.4.5)

Ширина спектра телеграфного сигнала:

B_k = G_x(w) dw/G_x(0) º S_x(w) dw/S_x(0) = ap. (9.4.6)

Отсюда следует, что спектр случайного процесса тем шире, чем меньше интервал корреляции процесса.

Белый шумявляется стационарным случайным процессом x(t) с постоянной спектральной плотностью G_x(f) = s², равной дисперсии значений x(t). Другими словами, все спектральные составляющие белого шума имеют одинаковую энергию (как белый цвет содержит все цвета видимого спектра).

По своему физическому смыслу спектральная плотность - это мощность процесса, которая приходится на 1 Гц полосы частот. Но тогда идеального белого шума на практике не может существовать, так как для него должно было бы выполняться условие:

R_x(0) = G_x(f) df = (s²/2)×d(0) = ¥, (9.4.7)

т.е. мощность белого шума и его дисперсия равны бесконечности, а значения шума не коррелированны для любых |t| ¹ 0, так как ковариационная функция представляет собой идеальный дельта-импульс. Тем не менее многие помехи в радиотехнике, в технике связи и в других отраслях рассматривают как белый шум, если выполняется следующее соотношение между шириной спектров полезных сигналов и шумов

B_{k.сигнал}/B_k.шум << 1,

и спектральная плотность шумов слабо изменяется в интервале спектра сигнала.

Рис. 9.4.4. Функции ковариации белого шума в частотном интервале 0-В.

Если частотный диапазон спектра, на котором рассматриваются сигналы и помехи, равен 0-В, то спектральная плотность шума задается в виде:

G_x(f) = s², 0 £ f £ B; G_x(f) = 0, f > B, (9.4.8)

при этом ковариационная функция шума определяется выражением:

R_x(t) = s²B×sin(2pBt) / 2pBt. (9.4.9)

Эффективная шумовая ширина спектра:

B_k = R_x(0)/G_x(f)_max = B. (9.4.10)

Эффективное шумовое время корреляции:

T_k = 2 |R_x(t)|dt /R_x(0). (9.4.11)

Реальное шумовое время корреляции целесообразно определить по ширине главного максимума функции R_x(t), в котором сосредоточена основная часть энергии шумов, при этом T_k = 1/В и B_kT_k = 1, т.е. соотношение неопределенности выполняется.

Как следует из всех этих выражений и наглядно видно на рис. 9.4.4, при ограничении частотного диапазона в шумах появляется определенная корреляция между значениями и чем меньше частотный диапазон шумов, тем больше их радиус корреляции. По существу, ограничение частотного диапазона шумов определенным диапазоном эквивалентно фильтрации белого шума частотным фильтром с соответствующей шириной полосы пропускания, при этом, в полном соответствии с выражением (9.3.7), ковариационная функция импульсного отклика фильтра переносится на шум.

Гауссовский шум возникает при суммировании статистически независимых белых шумов и имеет следующую функцию ковариации:

R_x(t) = a exp(-2ps²t²). (9.4.12)

Спектральная плотность шумов:

S_x(f) = (a/s ) exp(-f²/2s²), - ¥ < f < ¥. (9.4.13)

Эффективные шумовые ширина спектра и время корреляции:

B_k = s /2 = 1.25s, T_k = 1/s = 0.4/s. (9.4.14)

Соотношение неопределенности превращается в равенство: B_kT_k = 1/2.

Гауссовские случайные процессыпреобладают в практических задачах. Случайный процесс x(t) называется гауссовским, если для любого набора фиксированных моментов времени t_n случайные величины x(t_n) подчиняются многомерному нормальному распределению. Плотность вероятностей мгновенных значений x(t) эргодического гауссовского процесса определяется выражением:

p(x) = (s_x )^-1 exp(-(x-m_x)²/2s²). (9.4.15)

Среднее значение и его оценка по достаточно большому интервалу Т:

m_x = xp(x) dx, m_x » (1/T) x(t) dt.

При нулевом среднем (или при центрировании функции x(t) для упрощения расчетов) дисперсия не зависит от t и равна:

s_x² = x² p(x) dx.

Оценка дисперсии при больших Т:

s_x² » (1/T) x²(t) dt = S_x(f) df = 2 S_x(f) df = G_x(f) df. (9.4.16)

Следовательно, плотность вероятностей гауссовского процесса полностью характеризуется спектральной плотностью, по которой можно определить значение дисперсии процесса. На вид спектральных плотностей и соответствующих им корреляционных функций никаких ограничений не накладывается.