Тема 9: СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ

Нет ничего более противного разуму и постоянству природы, чем случайность. Сам бог не может знать того, что произойдет случайно. Ибо если знает, то это определенно произойдет, а если определенно произойдет, то не случайно.

Цицерон. О девинации. (Римский философ)

Случайность противна нашему разуму, но не природе и богам. Именно для проверки теории случайных процессов боги и создали мир. Швыряться яблоками они уже перестали, со времен Ньютона в этом процессе ничего нового не наблюдалось. Но арбузные корки продолжают подсовывать - фиксируется непредсказуемая и зачастую очень даже интересная реакция.

Рудольф Гавшин. O cлучайном. (Уральский геофизик)

Содержание: 9.1. Случайные процессы и функции. Случайный процесс. Функции математического ожидания и дисперсии. Ковариационная функция. Корреляционные функции. Свойства функций автокорреляции и автоковариации. Взаимные моменты случайных процессов. Классификация случайных процессов. 9.2. Функции спектральной плотности. Каноническое разложение случайных функций. Комплексные случайные функции. Финитное преобразование Фурье. Спектр функций случайных процессов. Взаимные спектральные функции. Теорема Винера-Хинчина. 9.3. Преобразования случайных функций. Системы преобразования случайных функций. Математическое ожидание выходного сигнала. Ковариационная функция выходного сигнала. Функция взаимной ковариации входного и выходного сигналов. Спектральные соотношения. Дисперсия выходного сигнала. Функция когерентности. Преобразования случайных функций. Преобразования стационарных случайных функций. 9.4. Модели случайных сигналов и помех. Телеграфный сигнал. Белый шум. Гауссовский шум. Гауссовские случайные процессы. Литература.

9.1. Случайные процессы и функции [л31,л2,л4].

Теория вероятностей рассматривает случайные величины и их характеристики в "статике". Задачи описания и изучения случайных сигналов "в динамике", как отображения случайных явлений, развивающихся во времени или по любой другой переменной - координате, решает теория случайных процессов.

Как было принято и выше, в качестве универсальной координаты для распределения случайных величин по какой-либо независимой переменной будем использовать, как правило, переменную "t" и трактовать ее, чисто для удобства, как временную координату. Случайные распределения во времени обычно называют случайными или стохастическими процессами.

Случайный процесс Х(t) может быть описан функциональной системой случайных величин Х_n = Х(t_n), n = 1,2, … ,N при N Þ ¥ (соответственно Dt Þ 0), которая отличается тем, что принимаемые ею значения по координате t являются случайными. При регистрации случайного сигнала на определенном временном интервале осуществляется фиксирование единичной реализации x_k(t) - выборочной функции случайного процесса X(t). С практической точки зрения эту выборочную функцию можно считать результатом отдельного эксперимента. Сам случайный процесс в целом должен анализироваться с позиции бесконечной совокупности таких реализаций, образующих статистический ансамбль. Полной статистической характеристикой такой системы является N-мерная плотность вероятностей р(x_n;t_n). Однако, как экспериментальное определение N-мерных плотностей вероятностей процессов, так и их использование в математическом анализе представляет значительные математические трудности. Поэтому на практике обычно ограничиваются одно- и двумерной плотностью вероятностей процессов.

Одномерная плотность вероятностей p(x,t) случайного процесса Х(t) характеризует распределение вероятностей реализации случайной величины Х в произвольный момент времени t. Моменты времени t_i, по существу, являются сечениями случайного процесса по пространству возможных состояний и плотность вероятностей p(x,t) представляет собой плотность вероятностей случайных величин X_i данных сечений. Однако одномерные законы плотности распределения вероятностей случайных процессов не несут каких-либо характеристик связи между значениями случайных величин для различных значений аргументов.

Двумерная плотность вероятностей p(x₁,x₂;t₁,t₂) определяет вероятность совместной реализации значений случайных величин Х₁ и Х₂ в произвольные моменты времени t₁ и t₂ и в какой-то мере уже позволяет оценивать динамику развития процесса.

Случайные процессы и их функции характеризуются неслучайными функциями математического ожидания (среднего значения), дисперсии и ковариации:

Функции математического ожидания и дисперсиипредставляют собой соответственно математическое ожидание и дисперсию случайных величин по сечениям реализаций случайных процессов в произвольные моменты времени t:

m_x(t) º M{Х(t)}º = x p(x;t) dx, (9.1.1)

D_x(t) = M{[Х(t)-m_x(t)]²} = [x_o(t)]² p(x;t) dx, (9.1.2)

x_o(t) = x(t)-m_x(t).

Соответственно, функция среднего квадратического отклонения:

s_x(t) = , (9.1.3)

Математическое ожидание m_x(t) называют также неслучайной составляющей случайного процесса X(t), а разность Х(t)-m_x(t) - флюктуационной частью процесса. Пример неслучайной составляющей M{A(x)} случайного процесса А(х) можно видеть на рис. 9.1.3.

Ковариационная функция характеризует случайный процесс в целом.

На рис. 9.1.1 приведены примеры реализаций двух случайных процессов, которые характеризуются одной и той же функцией математического ожидания и дисперсии.

Рис. 9.1.1.

На рисунке видно, что хотя пространство состояний обоих процессов практически одно и то же, динамика развития процессов в реализациях существенно различается. Единичные реализации коррелированных процессов в произвольный момент времени могут быть такими же случайными, как и некоррелированных, а в пределе, во всех сечениях оба процесса могут иметь один и тот же закон распределения случайных величин. Однако динамика развития по координате t (или любой другой независимой переменной) единичной реализации коррелированного процесса по сравнению с некоррелированным является более плавной, а, следовательно, в коррелированном процессе имеется определенная связь между последовательными значениями случайных величин. Оценка степени статистической зависимости мгновенных значений какого-либо процесса Х(t) в произвольные моменты времени t₁ и t₂ задается функцией ковариации:

R_Х(t₁,t₂) = M{Х(t₁)Х(t₂)}= x(t₁)x(t₂) p(x₁,t₁;x₂,t₂) dx₁dx_2, (9.1.4)

При анализе случайных процессов второй момент времени t₂ удобно задавать величиной сдвига t относительно первого момента, который при этом может быть задан в виде координатной переменной:

R_Х(t,t+t) = M{Х(t)Х(t+t)}. (9.1.4')

Функция, задаваемая этим выражением, обычно называется автоковариационной функцией случайного процесса.

Корреляционные функции. Частным случаем ковариационной функции является функция автокорреляции (ФАК), которая широко используется при анализе сигналов:

K_Х(t₁,t₂) = (x(t₁)-m_x(t₁))(x(t₂)-m_x(t₂) p(x₁,t₁;x₂,t₂) dx₁dx₂. (9.1.5)

Рис. 9.1.2.

Для центрированных случайных процессов ФАК тождественна функции ковариации. При произвольных значениях m_x корреляционные и ковариационные функции связаны соотношением:

K_X(t,t+t) = R_X(t,t+t) - m_x²(t).

Пример функции автокорреляции приведен на рис. 9.1.2.

Нормированная функция автокорреляции (функция корреляционных коэффициентов):

r_Х(t,t+t) = K_Х(t,t+t) / [s(t)s(t+t)]. (9.1.6)

При t = 0 значение r_Х равно 1, а ФАК вырождается в дисперсию случайного процесса:

K_Х(t) = D_Х(t).

Отсюда следует, что для случайных процессов и функций основными характеристиками являются функции математического ожидания и автокорреляции. Особой необходимости в отдельной функции дисперсии не имеется.

Рис. 9.1.3. Реализации случайных процессов. Рис. 9.1.4. Корреляционные функции процессов.

Примеры реализаций двух различных случайных процессов и их корреляционных функций приведены на рис. 9.1.3 и 9.1.4..