Тема 6: РЕКУРСИВНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ

Благословен Господь, кто содеял все нужное нетрудным, а все трудное ненужным.

Григорий Сковорода. (Украинский философ, ХШ век)

Рекурсивные фильтры нужны при обработке данных. Однако считать их трудно и муторно. Отсюда следует, что Всевышний фильтров не создавал и за последствия их применения ответственности не несет.

Отец Дионисий (в миру В.Лебедев). (Геофизик-пенсионер, XXI в.)

Содержание:6.1. Низкочастотный фильтр Баттеруорта. Передаточная функция. Крутизна среза. Порядок фильтра. Преобразование Лапласа. Билинейное преобразование. 6.2. Высокочастотный фильтр Баттеруорта. Синтез фильтров методом частотного преобразования. 6.3. Полосовой фильтр Баттеруорта. 6.4. Фильтры Чебышева. Фильтры первого рода. Фильтры второго рода. 6.4. Дополнительные сведения. Литература.

6.1. Низкочастотный фильтр Баттеруорта /л12,л24/.

Рис. 6.1.1. АЧХ фильтра Баттеруорта.

Передаточная функция. Гладкий вид амплитудно-частотной характеристики фильтра Баттеруорта (рис. 6.1.1) задают квадратом передаточной функции вида:

|H(W)|² = H(W)H*(W) = 1/(1+W^2N).

где W = w/w_c - нормированная частота, w_c - частота среза АЧХ фильтра, на которой |H(w)|² = 1/2 (соответственно H(w) = 0.707), N - порядок фильтра, определяющий крутизну среза АЧХ. При W → 0 коэффициент передачи фильтра стремится к 1. Учитывая, что результаты вычислений будут относиться к цифровым фильтрам и при z-преобразовании с переходом в главный частотный диапазон произойдет искажение частот, до начала расчетов фактические значения задаваемых частотных характеристик (значения w_c, w_p и w_s) следует перевести в значения деформированных частот по выражению:

w_д = (2/Dt) tg(wDt/2) = g tg(wDt/2), -p/Dt<w<p/Dt. (6.1.1)

Крутизна среза. Наклон частотной характеристики фильтра при переходе от области пропускания к области подавления можно характеризовать коэффициентом крутизны среза фильтра K в децибелах на октаву:

K = 20 log|H(w₂)/H(w₁)|, (6.1.2)

где w₁ и w₂ - частоты с интервалом в одну октаву, т.е. w₂ = 2w₁.

Длительность импульсной реакции фильтра в пределах ее значимой части также зависит от крутизны среза: чем больше крутизна, тем больше длительность импульсного отклика фильтра.

Порядок фильтра. Принимая w₁=W_с, w₂=W_s и подставляя в (6.1.2) значения H(W) с приведенными данными, получим приближенное выражение для определения порядка фильтра по заданному значению К:

N = K/6. (6.1.6')

Так, для гарантированного ослабления сигнала в полосе подавления в 100 раз (40 децибел) порядок фильтра N = 7. В среднем, при изменении N на единицу коэффициент подавления сигнала изменяется на 6 децибел.

Исходные требования к передаточной функции фильтра обычно задаются в виде значений w_p, w_s и коэффициентов неравномерности (пульсаций) A_p и A_s (см. рис. 6.1.1). Для определения частоты среза w_c по уровню 0.707 и порядка фильтра введем параметр d, связанный с коэффициентом А_р следующим соотношением:

(1-А_р)² = 1/(1+d²).

d = [1/(1-А_р)]· . (6.1.3)

Для учета деформации частотной шкалы в процессе билинейного преобразования при переходе в дальнейшем к полиномам по Z, выполняем расчет деформированных частот w_dp и w_ds по формулам:

w_dp= 2·tg(w_p·Dt/2)/Dt, (6.1.4)

w_ds= 2·tg(w_s·Dt/2)/Dt.

При нормированной частоте W = w/w_dc, где w_dc соответственно также деформированная частота, на границах переходной зоны выполняются равенства:

1/(1+d²) = 1/[1+(w_dp/w_dc)^2N], (6.1.5)

A_s² = 1/[1+(w_ds/w_dc)^2N].

Отсюда:

d² = (w_dp/w_dc)^2N, 1/A_s² - 1 = (w_ds/w_dc)^2N.

Решая эти два уравнения совместно, находим:

N = ln [d/ ] / ln(w_dp/w_ds), (6.1.6)

w_dc = w_dp/d^1/N. (6.1.7)