УРАВНЕНИЕ ДАНИИЛА БЕРНУЛЛИ

Даниил Бернулли (1700-1782 гг.)

выдающийся ученый математик и механик.

Работал в Петербургской Академии Наук.

На движение жидкости влияют силы трения и гидродинамическое давление. Рассмотрим процесс вытекания жидкости из сосуда А (рис.2) с постоянным напором H=h+z, выделив в трубке сосуда центральную струйку mm.

Рис.2. Сосуд с постоянным напором

Жидкость изменяет свою форму в зависимости от формы трубки, через которую она протекает. Количество жидкости, которое протекает через каждое сечение трубки, /-/, //-// и ///-///, за одно и то же время вследствие неразрывности массы и постоянства расхода остается неизменным. При переходе жидкости от одного сечения (I-I) к другому (II-II) и т.д. изменяются скорость ее вытекания, энергия положения частиц жидкости.

При установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной и кинетической энергии в любом сечении неизменна:

где z – удельная энергия положения относительно какой-либо плоскости – геометрический напор;

- удельная энергия давления, называемая пьезометрическим напором, измеряется высотой столба жидкости в пьезометре;

g – ускарение силы земного притяжения g = 9.81 м/сек²

ПЬЕЗ?ОМЕТР (от греч. piezo — давлю, сжимаю и metron — мера, metreo — измеряю), прибор для измерения сжимаемости газов, жидкостей и твердых тел. Пьезометрами называют также устройство для измерения линейной деформации твердых тел.

Уравнение Д. Бернулли называется также уравнением энергии жидкости.

В теории и расчетах насосов применяется h_w, который учитывает, потерянную энергию от гидравлических сопротивлений и называется потерянным напором.

На судне неизбежна потеря напора на преодоление сопротивления по длине трубопровода h_д.т. и местных сопротивлений h_м.с. Тогда уравнение Д. Бернулли имеет вид:

В гидравлике это уравнение формулируется так: при установившемся течении жидкости энергия жидкости плюс потерянный напор в любом поперечном сечении потока есть величина постоянная.

Потери по длине трубопровода возникают вследствие трения жидкости о стенки труб и внутреннего трения между частицами движущейся жидкости. Трение о стенки зависит от степени шероховатости труб и свойств жидкости.

УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ПОТОКА

В условиях установившегося движения поток жидкости рассматривают как совокупность элементарных струек.

Учитывая, что движение жидкости в элементарной струйке происходит без образования пустот и разрывов можно сделать вывод, что расход, элементарной струйки по всей длине остается постоянным.

Рис.2-4. Эпюра скоростей при ламинарном течении жидкости в трубе.

Рис.2-5. Поток жидкости при установившемся движении. К понятию об уравнении неразрывности потока.

Выделим по длине элементарной струйки в установившемся потоке: (рис.2-5) два сечения I-I и II-II и обозначим площади сечения струйки через Δ_ω1 и Δ_ω2 скорости течения через u₁ и u₂ и расходы элементарной струйки через ΔQ₁ и ΔQ₂. Если плотность жидкости постоянна (ρ=const), то, учитывая свойства элементарной струйки, можем записать

или (2-4)

следовательно, объем жидкости, прошедший через сечение I-I за некоторый промежуток времени, должен быть равен объему жидкости, прошедшему за то же время через сечение II-II. Просуммировав обе части уравнения (2-4) по каждому из сечений в пределах живого сечения потока, запишем

или

откуда (2-5)

т.е. при установившемся движении расходы жидкости во всех живых сечениях потока одинаковы.

С учетом зависимости (2-2) последнее уравнение перепишем следующим образом:

(2-6)

Уравнение (2-6) представляет собой уравнение неразрывности потока. Оно показывает, что при установившемся движении через любое сечение потока за единицу времени проходит одно и то же количество жидкости.

На основании уравнения (2-6) можно заключить, что средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений: