П.1 Метод половинного деления

 

Пусть корни уравнения f(x)=0 отделены, т.е. известно, что уравнение имеет единственное решение х* на отрезке [а,b]. Следовательно, функция y=f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [а,b] и принимает на его концах значения разных знаков: f(a)∙ f(b) < 0. Делим данный отрезок пополам. Получим точку с0. Если f(c0)=0, то с0 – корень уравнения. Если нет, выбираем из отрезков [а, с0] и [с0,b] тот, на котором функция имеет значения разных знаков: f(a) ∙ f(с0) < 0 или f(с0) ∙ f(b) < 0. И выполняем аналогичные действия.

Процесс деления отрезка пополам продолжается до тех пор, пока на некотором n-ом этапе либо середина отрезка станет корнем уравнения, либо найдется такой отрезок [an, bn] , что и , где n – количество разбиений, аn и bn – корни уравнения с точностью до ε , ξ – точный корень уравнения. За приближенное значение корня х* следует взять . Погрешность .

Пример. Найти корни уравнения

Решение.

Отделим корни аналитическим методом. Найдем стационарные точки: при . Составим таблицу, в которой рассмотрим поведение производной и функции:

x -∞; 1 1; +∞
Знак - +
Поведение  

 

Разобьем полученную область значений на более мелкие промежутки и найдем интервалы, в которых содержаться корни уравнения.

х -∞ +∞
Знак + - - - +

 

Уравнение имеет два корня (второй порядок - х2), происходит две перемены знака. Составим новую таблицу с более мелкими интервалами корня:

 

х -5 -4 -3 -2 -1
Знак + + + + - - - - - + +

 

Из таблицы видно, что корни уравнения заключены в промежутках (-2; -1) и (3; 4).

Замечание. Можно было отделить корни графическим методом: 1) построить графики функций и найти интервалы по х, где они пересекаются или 2) построить сразу график параболы .

       
   
 


       
 
   


Уточним корни методом половинного деления. Удобно все вычисления занести в таблицу.

Найдем корень х1 на отрезке (-2, -1).

n an- bn+ знак знак
-2 -1 -1,5 0,25 -2 + -
-1,5 -1 -1,25 -0,9375 0,25 -2 - +
-1,5 -1,25 -1,375 -0,359 0,25 -0,9 - +
-1,5 -1,375 -1,4375 -0,05859        

 

Видим, что при . Следовательно, корень найден.

Погрешностьнайденного корня = .

Ответ:первый корень уравнения х1 = -1,4375. Второй корень ищем аналогично.






Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 2091; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.014 сек.