П.2. Метод Ньютона (касательных)


 

Это итерационный метод нахождения корней нелинейного уравнения f (x) = 0. Геометрическая интерпретация одной итерации метода заключается в том, что в качестве корня уравнения принимается точка пересечения оси (Ох) и касательной, проведенной в точке ( , y( )), где - начальное приближение, к графику функции.

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Пусть корень x* [a, b] так, что f (a) · f (b) < 0. Положим x0 = b. Проведем касательную к графику функции y = f(x) в точке B0 = (x0, f (x0)).

 

Уравнение касательной будет иметь вид: y – f(x0) = f ′(x0)(x – x0). Отсюда выразим х: . (*)

Первое приближение к решению получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью (Ох), т. е. положив в (*) y = 0, x = x1: Если f (х1) = 0, то x1 – искомый корень.

Если , то проведем перпендикуляр к оси (Ох) х = х1 до пересечения с графиком функции. Получим точку B1(x1, f (x1)). Проведем касательную к графику функции y = f(x) в точке B1(x1, f (x1)). Получим второе приближение, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью (Ох), т. е. положив в (*) y = 0, x = x2: . Если f (х2) = 0, то x2 – искомый корень.

Если , то процесс построения касательных продолжается. Аналогично как с точкой B1, поступим с точкой B2(x2, f (x2)), затем с точкой B3(x3, f (x3)), и так далее, в результате получим последовательность приближений x1, x2, …, xn, …, причем

- расчетная формула метода Ньютона. (**)

Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение. Неудачный выбор начального приближения может дать расходящуюся последовательность.

Теоремаостаточное условие сходимости метода). Пусть [a, b] – отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения x0 выбрать тот из концов отрезка, для которого f (x) · f "(x) ≥ 0, то итерации (**) сходятся, причем монотонно.

Рисунок соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка: x0 = b.

Погрешность метода. На практике удобно пользоваться следующей апостериорной оценкой погрешности: | xn – x*| ≤ | xn – xn – 1|.

Критерий окончания. Данная оценка позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство | xn – xn – 1| .

Пример. Решим методом Ньютона уравнение x3+2x2+3x+5=0, взяв в качестве начального приближения и задав точность 0,000001.

Решение.

Поскольку (x)=3x2+4x+3, то итерационная формула метода Ньютона будет такой:

Применяя эту формулу, последовательно находим:

x1 = -1,857143; критерий окончания не выполнен, так как | xn – xn – 1| = | -1,857143(-2)| .

x2 = -1,843842; критерий окончания не выполнен, так как | xn – xn – 1| = | -1,843842-(-1,857143)|

x3 = -1,843734; | xn – xn – 1| = | -1,857143-(-1,843734)| , следовательно, критерий окончания выполнен.

x4 = -1,843734.

Таким образом, x ≈ -1,843734 с точностью . Как мы видим, значение корня с нужной нам точностью было получено уже на третьем шаге. (Четвёртый шаг понадобился для того, чтобы можно было убедиться, что с нужной нам точностью значение перестало изменяться.)

Вычисления удобно оформлять в виде таблицы.



Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 2519;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.