Решение однородных систем методом Гаусса

Однородная система всегда совместна, так как она всегда имеет нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0. Для нее справедливо, что .

Теорема Кронекера-Капелли для однородной системы: 1) если , то система имеет единственное решение – нулевое, 2) если , то система имеет бесконечное множество решений, среди которых есть и ненулевые.

Определение.Линейно независимая совокупность решений однородной системы называется фундаментальной системой решений, если каждое решение является линейной комбинацией остальных.

Идея метода Гаусса: матрица системы приводится к трапециевидной или к треугольной форме, затем все получившиеся базисные переменные выражаются через свободные переменные и находится фундаментальное решение системы.

Пример. Решить систему линейных уравнений: .

Решение.Запишемматрицу системы: ,

отсюда т.к. три ненулевые строки. Количество неизвестных n = 4, т.е. , следовательно, по теореме Кронекера - Капелли система имеет бесконечное множество решений. Найдем его. Запишем полученную матрицу в виде системы уравнений:

. Система имеет три базисные неизвестные: х₁, х₂, х₃ и одну свободную х₄. Выразим базисные неизвестные через свободную переменную, начиная с последнего уравнения:

,

,

.

Ответ: Фундаментальная система решений: .