Функция Вилльямса—Ваттса

Для многих полярных веществ макроскопическая функция релаксации является не экспоненциальной и она может быть приближенно описана выражением Вилльямса—Ваттса:

где β — параметр ширины распределения времен диэлектрической релаксации, причем 0 < β < 1;
τ — характерное время для макроскопической релаксации, соответствующее конкретному механизму молекулярного движения.

Если Ф(t) получена суперпозицией ряда экспоненциальных функций, то выражение запишется в виде

где τ—микроскопическое время, соответствующее для каждого элементарного экспоненциального процесса диэлектрической релаксации;
G(τ)—функция распределения Вилльямса—Ваттса,

причем

. .

Комплексная диэлектрическая проницаемость ε* связана с макроскопической функцией релаксации Ф(τ) с помощью Фурье-преобразования:

,

где ω — циклическая частота;
ε₀, ε_¥ — значения диэлектрической проницаемости ε' при очень низких и высоких частотах соответственно.

При β = 1 выражение сводится к простому дебаевскому выражению:

с единственным временем диэлектрической релаксации τ₀. Выражение соответственно примет вид

.