Уравнение с разделенными переменными

т.к. λ – это угол , то и С₁ тоже угол . Обозначим φ=С₁ .

Избавимся от arcsin и от дроби :

Извлечем из под радикала выражение: и поделим знаменатель на эту величину.

- эксцентриситет траектории ;

Можно выбрать такое начальное положение плоскости n-n чтобы

- уравнение траектории полета ракеты на пассивном участке.

С точки зрения математики это уравнение которое образуется при пересечении конуса плоскостью (уравнение кривой).

Уравнение эллиптического участка траектории .

Частные случаи .

Рассмотрим несколько случаев :

1. Плоскость перпендикулярна оси конуса .

В сечении будет окружность , следовательно точка движется по окружности .

Необходимая скорость , которую должна получить ракета в точке А , чтобы она могла двигаться по орбите вокруг Земли , эту скорость принято называть первой космической скоростью.

.

2.

Это уравнение эллипса или эллиптическая траектория . В этом случае С<0 . Для этого случая запишем уравнение энергии :

- необходимое условие для получения эллипса .

- траектория эллипса .

Случаи :

§ - эллиптическая траектория ракеты класса “Земля – Земля” (рис.39) .

§ - это орбитальный эллипс и его вытянутость зависит от величины скорости в точке А (рис.40) .

3.

Уравнение энергии

- вторая космическая скорость .

Приближенно можно считать , что V_Ik≈8 км/с , а V_IIk≈11.2 км/с .

4. - это траектория гиперболы при С>0 .

- гиперболическая скорость (третья космическая скорость) .

Время полета ракеты на эллиптической траектории .

Уравнение траектории движения ракеты на эллиптическом участке

Запишем уравнение для момента количества движения точки единичной массы :

Проинтегрируем

- время полета ракеты на эллиптическом участке траектории .

Добавляем “2” и интегрируем до π потому , что берем только половину траектории .

Это уравнение можно решить аналитическим методом или методом численного интегрирования .

Расчет участка снижения .

Допущения в расчетах :

§ масса спускаемого аппарата постоянна m_СА=сonst ;

§ пренебрегаем кривизной Земли и рассматриваем движение в прямоугольных координатах ;

§ ускорение свободного падения постоянно g=g_o=const ;

§ угол атаки равен нулю α=0 , следовательно и подъемная сила равна нулю .

При расчете пассивного участка траектории мы должны получить дальность полета , время , коэффициенты перегрузок (продольные) .

y_c=y_a – высота

Θ_с=-Θ_а

V_c=V_a

X_c=0 ( X_c=X_a+L_эл )

Уравнение движения ракеты будет :

Эта система решается любым численным методом .