Для решения необходимо сделать это уравнение с разделенными переменными

- эффективная скорость истечения продуктов сгорания из сопла двигателя в пустоте . Она всегда больше истинной или реальной .

- эффективная скорость истечения продуктов сгорания из сопла двигателя на Земле.

Она равна истинной , когда р_а=р_з .

-стартовая нагрузка на мидель ракеты , величина постоянная для данной ракеты ,

- скоростной напор .

Таким образом уравнение (3) будет иметь следующий вид :

Полученное уравнение (*) решается методом последовательных приближений . В первом приближении учитываются только первые два слагаемых , двумя последними принебрегаем . Проинтегрируем уравнение (*)

- первый интеграл Королева ;

- скорость ракеты в первом приближении .

В первом приближении определяем только высоту полета . Для этого запишем уравнение 2 .

→

- высота полета в первом приближении .

Таким образом скорость полета ракеты в первом приближении равна идеальной скорости минус потери скорости на преодоление силы тяжести .

При вычислении скорости во втором приближении необходимо учитывать влияние атмосферы и противодавление на срезе сопла двигателя .

Тогда формула (*) будет иметь вид :

После интегрирования уравнения (**) получаем :

, где

Посчитанный q близок к истинному q на траектории полета ракеты ,т.к. он определяется по завышенной скорости и заниженной плотности .

Для реальных скоростей этот промежуток (0.8...2.0) небольшой по времени, а значит, принимая величину С_х мы не делаем грубых ошибок.

- эта величина в общем случае занижена , т.к. определяется по завышенной высоте .

Но сама величина третьего интеграла незначительна , поэтому эта неточность не оказывает существенного влияния на величину скорости .

Принято обозначать :

- второй интеграл Королева .

- третий интеграл Королева .

Таким образом получается :

- формула скорости ракеты во втором и окончательном приближении .

Зная скорость можно найти высоту и дальность .

После всех преобразований получим :

- формулы для определения высоты и дальности во втором приближении .

Рассмотрим выполнение программного угла Θ .

Для того , чтобы определить , как меняется угол Θ составим дифференциальное уравнение движения ракеты в проекции на ось n .

- ускорение движения в проекции на ось n .

Решая это уравнение совместно с уравнением скорости , высоты и дальности мы получим величину Θ , как функцию времени . С другой стороны для того , чтобы ракета выполнила программу угол Θ=Θ_прогр .

Выполнение угла Θ_прогр обеспечивается выполнением вполне определенного угла атаки α , т.е. α=α_пргр=α(t) .