Кривые и области на комплексной плоскости

Областью на комплексной плоскости называют множество точек, обладающее следующими свойствами:

вместе с каждой точкой из этому множеству принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке (свойство открытости);

любые две точки можно соединить кривой, все точки которой принадлежат (свойство связности).

Приведем примеры кривых и областей на комплексной плоскости.

1. Где расположены точки , для которых , если – фиксированное комплексное число, ?

Решение.Пусть , .

Тогда

или .

Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

2. Где расположены точки , для которых , если , ?

Решение.Так как , , то

.

После несложных преобразований получим , где , , .

Таким образом, данное равенство определяет прямую .

3. Построить линию .

Решение.Так как , то данное уравнение примет вид . Это прямая, проходящая через точку параллельно оси .

4. Неравенство определяет верхнюю полуплоскость .

5. Неравенство определяет круг с центром в точке и радиусом (рис.2).

6. Неравенство определяет круг с «проколотым» центром и радиусом (рис.3).

7. Неравенство определяет кольцо, ограниченное окружностями с центром в точке и радиусами и (рис.4).

8.Решить: а) систему уравнений; б), в) неравенства (геометрически):

а)

б) ;

в) .

Решение. а) Перепишем первое уравнение в виде . Множество решений этого уравнения задаёт окружность радиусом 1 с центром в точке (см. пример 1). Аналогично находим, что решением уравнения является окружность радиусом 1 с центром в точке (1+2i). Решением нашей системы уравнений являются точки пересечений этих окружностей.

Запишем z в алгебраической форме: z = x + yi.

Тогда

Отсюда, вычитая из первого уравнения второе, получим x = 3/2 . Подставив это значение в первое уравнение, найдём y: ; , . Таким образом, решениями нашей системы являются числа , .

б) Представление z в алгебраической форме приводит нас к неравенству x £ y. Решением этого неравенства является замкнутая полуплоскость (заштриховано).

в) Перепишем неравенство в виде

.

Решением этого неравенства является кольцо с центром в точке

(2, -3i), внутренний радиус которого равен 1, а внешний равен 2 (см. пример 7).

Область называется ограниченной, если существует круг такой, что .

Ограниченная область называется односвязной, если любую замкнутую кривую, лежащую в , можно непрерывно деформировать в точку, оставаясь в области . Примером односвязной области является область на рис. 2. Области на рис. 3 и рис. 4 не являются односвязными.

Пусть в области комплексной плоскости определена комплекснозначная функция , то есть каждой точке поставлено в соответствие комплексное число . Эту функцию можно представить в виде . Таким образом, комплекснозначную функцию комплексного переменного можно рассматривать как пару действительных функций двух действительных переменных, и многие свойства действительных функций естественным образом переносятся на функции комплексного переменного.

Примеры

Функция .

Здесь , .

Функция . Здесь , .

– многочлен степени с комплексными коэффициентами.

Рациональная функция где и – многочлены.

Учитывая формулы Эйлера, функции sin z и cos z для любого комплексного z определим равенствами

Отметим, что все формулы элементарной тригонометрии, справедливые для действительных x, остаются справедливыми и при всех комплексных значениях z. Кроме того, можно доказать, что уравнения и имеют решения только при то есть только на действительной оси. Следовательно, все решения уравнения находятся по формуле а все решения уравнения определяются формулой

Функции tgz и ctg z для любого комплексного z определим формулами

Функции shz, chz и для любого комплексного z определим равенствами

Из определения видно, что = Таким образом, свойства функций и непосредственно вытекают из свойств функций sinz, cosz и Отметим в частности, что все решения уравнения находятся по формуле а все решения уравнения определяются формулой . Кроме того, функции и непрерывны на всей комплексной плоскости, а функция непрерывна при , где