Кривые и области на комплексной плоскости
Областью на комплексной плоскости называют множество точек, обладающее следующими свойствами:
вместе с каждой точкой из этому множеству принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке (свойство открытости);
любые две точки можно соединить кривой, все точки которой принадлежат (свойство связности).
Приведем примеры кривых и областей на комплексной плоскости.
1. Где расположены точки , для которых , если – фиксированное комплексное число, ?
Решение.Пусть , .
Тогда
или .
Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом .
2. Где расположены точки , для которых , если , ?
Решение.Так как , , то
.
После несложных преобразований получим , где , , .
Таким образом, данное равенство определяет прямую .
3. Построить линию .
Решение.Так как , то данное уравнение примет вид . Это прямая, проходящая через точку параллельно оси .
4. Неравенство определяет верхнюю полуплоскость .
5. Неравенство определяет круг с центром в точке и радиусом (рис.2).
6. Неравенство определяет круг с «проколотым» центром и радиусом (рис.3).
7. Неравенство определяет кольцо, ограниченное окружностями с центром в точке и радиусами и (рис.4).
8.Решить: а) систему уравнений; б), в) неравенства (геометрически):
а)
б) ;
в) .
Решение. а) Перепишем первое уравнение в виде . Множество решений этого уравнения задаёт окружность радиусом 1 с центром в точке (см. пример 1). Аналогично находим, что решением уравнения является окружность радиусом 1 с центром в точке (1+2i). Решением нашей системы уравнений являются точки пересечений этих окружностей.
Запишем z в алгебраической форме: z = x + yi.
Тогда
Отсюда, вычитая из первого уравнения второе, получим x = 3/2 . Подставив это значение в первое уравнение, найдём y: ; , . Таким образом, решениями нашей системы являются числа , .
б) Представление z в алгебраической форме приводит нас к неравенству x £ y. Решением этого неравенства является замкнутая полуплоскость (заштриховано).
в) Перепишем неравенство в виде
.
Решением этого неравенства является кольцо с центром в точке
(2, -3i), внутренний радиус которого равен 1, а внешний равен 2 (см. пример 7).
Область называется ограниченной, если существует круг такой, что .
Ограниченная область называется односвязной, если любую замкнутую кривую, лежащую в , можно непрерывно деформировать в точку, оставаясь в области . Примером односвязной области является область на рис. 2. Области на рис. 3 и рис. 4 не являются односвязными.
Пусть в области комплексной плоскости определена комплекснозначная функция , то есть каждой точке поставлено в соответствие комплексное число . Эту функцию можно представить в виде . Таким образом, комплекснозначную функцию комплексного переменного можно рассматривать как пару действительных функций двух действительных переменных, и многие свойства действительных функций естественным образом переносятся на функции комплексного переменного.
Примеры
Функция .
Здесь , .
Функция . Здесь , .
– многочлен степени с комплексными коэффициентами.
Рациональная функция где и – многочлены.
Учитывая формулы Эйлера, функции sin z и cos z для любого комплексного z определим равенствами
Отметим, что все формулы элементарной тригонометрии, справедливые для действительных x, остаются справедливыми и при всех комплексных значениях z. Кроме того, можно доказать, что уравнения и имеют решения только при то есть только на действительной оси. Следовательно, все решения уравнения находятся по формуле а все решения уравнения определяются формулой
Функции tgz и ctg z для любого комплексного z определим формулами
Функции shz, chz и для любого комплексного z определим равенствами
Из определения видно, что = Таким образом, свойства функций и непосредственно вытекают из свойств функций sinz, cosz и Отметим в частности, что все решения уравнения находятся по формуле а все решения уравнения определяются формулой . Кроме того, функции и непрерывны на всей комплексной плоскости, а функция непрерывна при , где
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 113;