Изолированные особые точки

Точка называется изолированной особой точкой функции , если аналитична в кольце , но не определена в точке

Если – изолированная особая точка функции , то эту функцию можно разложить в ряд Лорана (3), который сходится к ней в кольце , где – сколь угодно малое положительное число, а – расстояние от точки до другой особой точки функции .

Изолированная особая точка называется устранимой, если разложение (3) не содержит степеней разности с отрицательными показателями, то есть

.

Точка является устранимой особой точкой функции в том и только том случае, если функция ограничена в некоторой окрестности точки .

Пример 1.Функция имеет изолированную особую точку Чтобы найти разложение в ряд Лорана в окрестности точки , воспользуемся формулой (5).

.

Это разложение не содержит степеней с отрицательными показателями. Следовательно, точка – устранимая особая точка.

Изолированная особая точка называется полюсом, если разложение (3) содержит конечное число степеней разности с отрицательными показателями, при этом число называется порядком полюса.

Для определения порядка полюса функции можно использовать теорему.

Для того, чтобы точка являлась полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы функцию можно было представить в виде

, (7)

где – аналитическая функция в окрестности точки и .

Полюса и нули аналитических функций связаны друг с другом.

Нулём функции называют любую точку , в которой Разлагая аналитическую функцию в ряд Тейлора (1) в окрестности нуля, получим:

, (8)

где и Число n называют порядком нуля аналитической функции в точке . Из (8) следует, что в окрестности нуля порядка n аналитическая функция допускает представление

(9)

где . Кроме того, порядок нуля можно определить следующим образом.

Если , а , то порядок нуля аналитической функции в точке равен n.

Справедливо утверждение.

Если аналитическую функцию можно представить в виде , где аналитические функции и имеют в точке нули порядка k и m соответственно, и , и ,то в точке функция имеет полюс порядка , при ; устранимую особую точку при .

В частности, если а имеет в этой точке нуль порядка то имеет в точке полюс порядка То есть в этом случае порядок полюса функции совпадает с порядком нуля знаменателя.

Изолированная особая точка называется существенно особой, если разложение (3) содержит бесконечное множество степеней с отрицательными показателями.

Пример 2.Найти все особые точки функций , определить их тип.

1. . 2. . 3. .

4.

Решение.1. Чтобы найти разложение в ряд Лорана функции в окрестности точки , воспользуемся формулой (5). Получим:

,

Так как полученный ряд не содержит степеней с отрицательными показателями, то точка является устранимой особой точкой.

2. Функция имеет две изолированные особые точки и . Определим их тип. Пусть Представим функцию в виде , где , .

Тогда, согласно (7), есть полюс порядка .

Пусть Представим функцию в виде , где Так как при , то порядок нуля знаменателя .

Для имеем: , откуда следует, что имеет ноль первого порядка, то есть и .

Следовательно, точка есть полюс порядка , то есть простой полюс.

3. Функция имеет изолированную особую точку Подставим в разложение в ряд Тейлора (5) функции вместо z выражение Получим разложение в окрестности особой точки

.

Этот ряд содержит бесконечное множество степеней с отрицательными показателями; следовательно, – существенно особая точка.

4. Для функции точки (k – целое число) являются нулями первого порядка, так как , Тогда для точки являются полюсами первого порядка (см. (7)), так как

Бесконечно удаленную точку называют изолированной особой точкой функции , если в некоторой ее окрестности (то есть вне круга с центром в точке достаточно большого радиуса) нет других особых точек функции . Для изучения поведения функции в окрестности точки полагают . Тогда окрестность точки перейдет в окрестность точки и . Если является устранимой, полюсом или существенно особой точкой для функции , то считают, соответственно, устранимой, полюсом или существенно особой точкой функции .

Можно показать, что точка будет устранимой, полюсом или существенно особой точкой функции , если ряд Лорана для в этой точки окрестности не содержит степеней с положительными показателями, содержит их в конечном числе или бесконечное множество соответственно.

Пример 3.Исследовать поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки.

Решение.Введем переменную . Тогда

.

Так как ограничена в окрестности точки , является устранимой особой точкой для , то и точка также является устранимой особой точкой для функции .

Пример 4. Исследовать поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки.

Решение. Разложим данную функцию в ряд Лорана. Для этого подставим в разложение в ряд Тейлора (5) функции вместо z выражение

Это разложение содержит конечное число степеней с положительными показателями, причем наивысший показатель степени . Поэтому точка является полюсом второго порядка для функции .