Аналитические функции

Понятие предела и производной для функции комплексного переменного вводятся так же, как и для функции действительного переменного.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Скажем, что существует предел если существуют пределы и ; при этом будем полагать

Если существует конечный предел

,

то этот предел называют производной функции в точке и обозначают а функцию называют дифференцируемой в точке

Имеет место теорема: для того чтобы функция , определенная в области , была дифференцируема в точке этой области, необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в той же точке (как функции двух переменных ) и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши-Римана:

; .

При выполнении условий теоремы производная может быть представлена в одной из следующих форм:

Функция , дифференцируемая в каждой точке области , называется дифференцируемой в этой области, или аналитической.

Примеры

Функция является аналитической на всей комплексной плоскости. В самом деле, ;

Функция не является аналитической на комплексной плоскости. Действительно, здесь , , , , .

Пользуясь условиями Коши-Римана, можно восстановить аналитическую функцию, если известна ее действительная часть или мнимая часть и, кроме того, задано значение функции в некоторой точке .

Пример.Восстановить аналитическую функцию , если дана ее действительная часть , .

Решение.В силу условий Коши-Римана имеем

, (1)

. (2)

Интегрируя уравнение (2) по переменной , находим мнимую часть . Слагаемое является постоянной (относительно ) интегрирования. Дифференцируя последнее равенство по , и сравнивая результат с уравнением (1), получаем

, откуда

и .

Следовательно, и , то есть . Учитывая дополнительное условие , получим: , откуда . Итак, .