Интегрирование функций комплексного переменного
Пусть заданы функция комплексного переменного и кусочно-гладкая кривая . Последнее означает, что L состоит из конечного числа гладких дуг (дуг с непрерывно изменяющейся касательной). Если кривая L задана параметрическими уравнениями
(1)
где , то кривую L будем всегда считать ориентированной в направлении возрастания параметра t.
Интеграл от функции можно определить через криволинейные интегралы от действительных функций и следующим образом:
. (2)
Пример 1.Вычислить интеграл , где – отрезок прямой, соединяющей точки и .
Решение.У нас , , и, согласно (2), получим
.
Так как прямая проходит через точки и комплексной плоскости, то ее уравнение имеет вид , .
Поэтому окончательно находим
,
,
Таким образом, .
Если кривая задана параметрическими уравнениями
, где , то переменная примет вид:
; .
В этом случае
. (3)
То есть для вычисления надо в подынтегральном выражении заменить на как под знаком функции, так и под знаком дифференциала и вычислить определенный интеграл в пределах от до .
Пример 2.Вычислить ,
где – отрезок параболы
Решение.По условию
.
Если кривая является окружностью с центром в точке и радиусом , то (см. пример 1 из п.2.1). Запишем комплексное число в показательной форме Для всех точек окружности откуда следует, что , или , , . Тогда
. (4)
Формулы (2) – (4) используются чаще всего в том случае, если подынтегральная функция не является аналитической в области, содержащей кривую .
Если функция аналитическая в односвязной области, содержащей кривую , то
, где .
Пример 3.Вычислить интеграл , где – отрезок прямой, содержащей точки и .
Решение.Функция является аналитической на плоскости . Поэтому
.
Ряды
Ряд Тейлора
Справедливы следующие теоремы.
1. Всякую функцию , аналитическую в круге с центром в точке можно представить внутри этого круга в виде суммы ряда Тейлора:
(1)
Во всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу, ряд Тейлора (1) сходится равномерно.
2. Всякую аналитическую функцию в каждой внутренней точке области аналитичности можно разложить в ряд Тейлора (1). Это разложение справедливо в области , где – расстояние от точки до ближайшей особой точки функции , то есть точки, в которой не является аналитической.
3. Если функция разлагается в окрестности точки в степенной ряд , то этот ряд является ее рядом Тейлора, то есть
, .
Пользуясь теоремой 3, можно разложить данную функцию в ряд по степеням , который является ее рядом Тейлора в окрестности точки . Часто коэффициенты такого ряда находят, используя известные разложения функций и т.д.
Напомним также разложение
(2)
сходящееся в круге <1.
Пример 1.Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки . Указать область, в которой справедливо это разложение.
Решение.В окрестности точки функция является аналитической. Следовательно, согласно теореме 2, ее можно разложить в ряд Тейлора. Для разложения в ряд Тейлора преобразуем данную функцию к виду
.
Разложим второй сомножитель в ряд по формуле (2). Область сходимости этого ряда , отсюда .
Искомое разложение имеет вид:
,
или
; .
Пример 2. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки . Указать область, в которой справедливо это разложение.
Решение.Для разложения в ряд Тейлора преобразуем данную функцию к виду и воспользуемся формулой (2).
Так как , то . Получаем искомое разложение:
,
;
Ряд Лорана
Справедлива теорема:
Функция , аналитичная в кольце , представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана
, (3)
где
, (4)
, – любая окружность, ориентированная против часовой стрелки и лежащая внутри указанного кольца с центром в точке . Разложение в ряд Лорана единственно.
Первое слагаемое в разложении (3) называется правильной частью ряда Лорана, второе слагаемое – главной частью ряда Лорана. Правильная часть ряда Лорана сходится в круге . Главная часть ряда Лорана сходится во внешности круга радиуса , то есть при .
Разложение (3) иногда можно получить на практике, не применяя формулы (4) для коэффициентов .
Пример 1. Найти все разложения функции в ряд Лорана по степеням .
Решение.Пусть . Тогда данная функция может быть разложена в ряд Лорана в кольцах:
I) , II) , III) ,
где она является аналитической.
Разлагаем на элементарные дроби:
.
I. Дробь разлагается вне круга по степеням с отрицательными показателями, то есть
, при .
Дробь разлагается внутри круга по степеням с положительными показателями, то есть
, при .
Итак, , при .
II. Дроби и разложим в ряд по степеням с положительными показателями внутри круга ,
,
Итак, , при .
III. Дроби и разложим по степеням с отрицательными показателями, то есть
, где ; , где .
Итак, , .
Пример 2.Найти все лорановские разложения по степеням , если , .
Решение.Пусть
Точки являются особыми точками функции (в них не аналитична). Тогда кольцами аналитичности будут области:
Возвращаясь к переменной , получаем следующие области разложения по степеням
Рассмотрим разложение функции в ряд Лорана в кольце , то есть .
Представим функцию в виде
Таким образом, .
Дробь разложим по степеням с отрицательными показателями вне круга , то есть
где
Дробь разложим по степеням с положительными показателями внутри круга , то есть
Итак, ,
где .
Остальные случаи разложения данной функции в ряд Лорана предлагается рассмотреть самостоятельно.
Для разложения функции в ряд Лорана иногда используют готовые разложения элементарных функций в ряд Тейлора.
(5)
которые сходятся во всей комплексной плоскости.
Пример 3.Функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки .
Решение.Функция является аналитической в кольце . Следовательно, она разложима в ряд Лорана. Воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора .
и положим :
(6)
В силу единственности разложения в ряд Лорана (6) является рядом Лорана для функции в кольце .
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 158;