Определение и вычисление вычетов

Пусть – область, границей которой является кривая . Скажем, что кривая ориентирована в положительном направлении, если при движении точки вдоль нее в направлении ориентации область остается слева.

Вычетом аналитической функции относительно изолированной особой точки называют число

.

Здесь – окружность радиуса , лежащая в области аналитичности функции и ориентированная в положительном направлении.

Если разложить в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки , то , где – коэффициент при в ее лорановском разложении.

Если – устранимая особая точка, то . Если – полюс I–го порядка, то

. (1)

При этом если и , , ,

( – полюс I–го порядка), то

. (2)

Формула (2) следует из равенства (1). Если – полюс порядка , то

. (3)

Пример 1. Найти вычеты функции относительно всех полюсов.

Решение. Данная функция имеет полюс I–го порядка и полюс порядка в точке . Воспользуемся формулой (1):

.

Используя формулу (3), получаем при :

Пример 2. Найти вычеты функции , где .

Решение. Функция имеет изолированную особую точку . Разложим в ряд Лорана в кольце , для чего используем разложение функции в ряд Тейлора

и положим :

В силу единственности разложения в ряд Лорана, полученное разложение функции по степеням является рядом Лорана для данной функции в кольце . Так как этот ряд содержит бесконечное число степеней с отрицательными показателями, то точка является существенно особой точкой, и

.

Пример 3. Найти вычеты функции , где .

Решение. Функция имеет изолированную особую точку . Разложим в ряд Лорана в кольце , для чего используем разложение функции в ряд Тейлора

и положим :

.

В силу единственности разложения в ряд Лорана, полученное разложение функции по степеням является рядом Лорана для данной функции в кольце . Так как этот ряд не содержит степеней с отрицательными показателями, то точка является устранимой особой точкой. Следовательно, .

Пример 4. Найти вычеты функции , где

Решение. Функция имеет полюса первого порядка в точках (см. пример 2 §5). Воспользуемся формулой (2).