Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Комплексное число как упорядоченная пара вещественных чисел определяет точку на плоскости или вектор (рис. 1).

Рис. 1

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Положение точки на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами , но и полярными координатами , где – длина вектора , а – угол между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается так: . Для числа аргумент не определяется, поэтому во всех дальнейших рассуждениях, связанных с понятием аргумента, предполагается, что .

Угол определяется с точностью до , где – целое число. Значение аргумента, заключенное между и , называется его главным значением и обозначается . Таким образом, .

При этом

Из рис.1 видно, что

Следовательно, любое комплексное число можно представить в виде

(4)

Запись комплексного числа в виде (4) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если , то по формуле (4) имеем .

Комплексное число обозначается символом , то есть функция для любого вещественного числа определяется формулой Эйлера:

. (5)

Подставляя (5) в (4), получаем показательную форму комплексного числа

.

Пример 2.Записать в показательной и тригонометрической формах число .

Решение.Здесь

.

Так как точка лежит в третьей четверти и , то .

.

Пример 3.Найти .

Решение. ,

,

,

.

Заменим на в равенстве (5):

. (6)

Складывая и вычитая равенства (5) и (6) получаем формулы Эйлера:

Функция обладает обычными свойствами показательной функции, как если бы число было действительным.

Отметим основные из них:

(7)

(8)

. (9)

Из (9) и (5) вытекает формула Муавра:

.

С помощью (7), (8) легко получаются формулы умножения и деления

комплексных чисел, записанных в показательной форме:

,

Пример 4.Найти и , если , .

Решение. ;

Пример 5.Найти .

Решение.Пусть . Тогда .

; ;

;

Корень из комплексного числа имеет различных значений и находится по формуле:

где

Пример 6. Найти значение .

Решение.Запишем подкоренное комплексное число в показательной форме: Тогда

При получаем ; при ;

при .

Логарифм комплексного числа определяется по формуле

Пример 7.Найти .

Решение.Здесь ,

; .

Комплексная степень комплексного числа определяется по формуле .

Пример 8.Найти .

Решение.Здесь . Тогда ;

, .