Гармонические свойства полного четырехвершинника

Теорема. На каждой стороне полного четырехвершинника есть четвёрка гармонических точек, состоящая из двух вершин и двух точек пересечения этой стороны с диагональным трехвершинником.

Теорема. На каждой диагонали полного четырехвершинника есть четвёрка гармонических точек, состоящая из двух диагональных точек и двух точек пересечения этой диагонали со сторонами четырехвершинника.

Гармоническими четверками будут на сторонах:

(AB,PM)=(АC,QG)=(AD,RL)=(BC,RN)=(BD,QF)=(CD,PK)= -1.

на диагоналях: (PQ,NL)=(PR,FG)=(RQ,MK)= -1.

Доказательство. Рассмотрим репер R( A, B, C, D ). Тогда A , B , C , D .

Точка Р является проекцией единичной точки D из третьей базисной точки С на координатную прямую (АВ) Р .

Точка Q является проекцией единичной точки D из второй базисной точки В на координатную прямую (АС) Q .

Точка R является проекцией единичной точки D из первой базисной точки А на координатную прямую (ВС) R .

М (АВ) х₃ = 0.

М (QR) =0 - х₁ – х₂ = 0 - х₁ = х₂ М .

Точки A , B , Р , М лежат на одной прямой и подсчет сложного отношения дает (АВ,РМ)= - 1.

Гармонизм других четверок можно доказать аналогично. □

Другой способ доказательства для других четверок основан на свойстве (7) сложного отношения (самостоятельно).

Замечание: В силу принципа двойственности верна теорема для четырехсторонника. (сам-но).