Задачи на построение.

Задача.Даны a∩b=S, причем точка S расположена за пределами чертежа, и точка С a, C b. Построить прямую (CS).

Решение. Задачу можно решить, применяя теорему Дезарга.

(недоступная точка чертежа отделена волнистой чертой).

Построение:

1. А, А′ а и В, В′ b.

2. (АВ)∩(А′В′)= Р. Проведем прямую через точку Р - s.

3. (АС)∩ s = Q и (ВС)∩ s= R.

4. (А′Q)∩(В′R)=С′, (СС′) - искомая прямая.

Замечание:Прямые а и b могут быть параллельными, задача решается аналогично. (Обоснуйте)

Опишите построение самостоятельно:

Простое отношение

Среди любых трех точек лежащих на одной прямой (евклидовой), одна всегда лежит между двумя другими.

Определение: Простым отношением трех различных точек А, В, С l называется число λ такое, что .

Тогда λ=± .

Обозначение: λ=(АВ,С)

Если С (АВ), тогда , а значит λ > 0.

Если С (АВ), тогда , а значит λ < 0.

При λ = 0 получим А=С, при λ = - 1 получим А=В. Но точки А, В, С различны, значит λ ≠ 0 и λ ≠ - 1.

На расширенной евклидовой плоскости возможно в случае, когда С_∞.

Будем считать на расширенной евклидовой прямой, что (АВ,С_∞) = -1.

Пусть точки имеют аффинные координаты А(α), В(β), С(γ). Тогда вектор = ( γ - α ), а вектор = ( β – γ ).

( γ - α ) = λ∙( β – γ ) λ = - здесь уже учтен знак простого отношения.

Схема для запоминания формула для вычисления

Задача. Даны аффинные координаты точек А(3), В(-2), С(2), М(3,5). Найти простые отношения (АВ,С), (ВС,А), (ВС,М), (СМ,А).

Решение.

(АВ,С) = = 0,25, ( ).

(ВС,А) = = -5, ( ).

(ВС,М) = , ( )

(СМ,А) = = 2, ( ).

Сложное отношение

На проективной прямой одна из трёх точек всегда лежит между двумя другими.

Нет смысла говорить о простом отношении трех точек. Необходима дополнительная точка.

Рассмотрим A, B, C, D, причем А, В, С – различны и D ≠ А.

Из первых трёх точек можно составить репер - R(А,В,С) и пусть точка D в этом репере.

Определение: Число λ = называется сложным (или двойным) отношением четырёх точек лежащих на одной прямой.

Обозначение: λ=(AB,CD).

Замечание: Так как D ≠ А , значит х₂ ≠ 0 (AB,CD)= - всегда определено.

Теорема. Для А, В, С - различных точек на проективной прямой и любого действительного числа λ существует единственная точка D на этой прямой такая, что (AB,CD) = λ.

Доказательство. Так как А, В, С – различны, то они могут образовать репер R(А,В,С). Тогда в этом R(А,В,С) существует некоторая точка D с координатами и по определению сложного отношения (AB,CD)= = λ (существование).

Докажем единственность от противного: Пусть существует еще одна точка D₁ такая, что

(AB,CD₁)=λ= х₁=λ∙х₂ D₁ = =D D₁=D (единственность). □

Вывод: По любым трем точкам и λ всегда можно найти четвертую.

Пусть А , В , С , D - различные точки.

Возьмем первые три в качестве нового репера, если + ≠ , то репер R′(А , В , С) не согласован. Согласуем репер:

k₁ + k₂ =

∆= , ∆₁= , ∆₂= k₁ = , k₂ = .

Тогда матрица преобразования координат - M= .

Обратная для неё- M^-1 = .

По формулам преобразования координат: μ D_R′ = М^-1 ∙ D_R

= ∙ =

Множитель можно отбросить. (Почему?)

(AB,CD) =. = =

=

Эту формулу можно записать с помощь определителей (проверьте самостоятельно):

=

Схема для запоминания формула для вычисления

Свойства:

1. Сложное отношение не зависит от выбора репера.

Доказательство основано на формулах перехода к новому реперу

λ Х_R =А∙X_R′ и μ X_R′ = А^-1 ∙ Х_R и свойствах определителя.

2. При перестановке пар сложное отношение не меняется: (AB,CD) =( CD, AB).

3. При перестановке точек в паре сложное отношение меняется на обратное:

(AB,CD)= .

Доказательство свойств 1 - 3.Самостоятельно.

4. При перестановке крайних точек сложное отношение меняется на дополнительное к единице. При перестановке внутренних точек сложное отношение меняется на дополнительное к единице.

(AB,CD) = 1 - (DB,CA) или (AB,CD)= 1 - (AC,BD).

Доказательство. Рассмотрим репер из первых трёх точек А, В, С и пусть точка D в этом репере,тогда(АВ,СD)= = λ .

(DВ,СА)=

Докажите это свойство другим способом.

Из точек A, B, C, D можно составить 24 комбинации сложных отношений точек (4!) , некоторые из них будут совпадать. Например (AB,CD) =( CD, AB) = (DC,BA) = (BA,DC) (проверьте).

Таким образом, будет 6 различных сложных отношений (проверьте).

(AB,CD) = λ → .

Определение: Если (AB,CD) > 0, то говорят, что пара AB не разделяет пару CD. Если (AB,CD) < 0, то говорят, что пара AB разделяет пару CD.

5. (AB,CD) = (поэтому сложное отношение называется двойным).

Доказательство. Рассмотрим однородную проективную систему координат. Пусть известны аффинные координаты точек А(α), В(β), С(γ), D (δ), тогда их проективные координаты будут

А , В , С , D .

С одной стороны (AB,CD) = = .

С другой стороны (AB,C) = и (AB,D) =

= = = □

6. Если D_∞ - несобственная точка, тогда (AB,CD_∞) = - (AB,C).

Доказательство. Рассмотрим однородную проективную систему координат R(Е_1∞, Е₂, Е). Пусть известны аффинные координаты собственных точек А(α), В(β), С(γ), тогда их проективные координаты будут А , В , С .

Так как точка D несобственная, то D=Е_1∞, D .

С одной стороны (AB,CD_∞) = = .

С другой стороны (AB,C) = .

Попробуйте доказать это свойство другим способом. □

Определение: Центральной проекцией прямой ℓ на прямую ℓ' из точки S называется отображение, при котором каждой точке А прямой ℓ ставится в соответствие точка А'прямой ℓ'

такая что А'= ℓ' ∩ (SА).

7. При центральном проектировании сложное отношение четырёх точек, лежащих на одной прямой не меняется. (AB,CD)=(A'B',C'D').

Доказательство. (AB,CD) =λ, доказать, что (A'B',C 'D') = λ.

На прямой (SС) возьмем точку Е и рассмотрим репер

R( А, В, S, Е).

Тогда А , В , S , Е .

D (АВ) D , С=Е₃₀= .

Тогда в согласованном репере R(А,В,С) - D (AB,CD)= =λ (обоснуйте).

А' (АS) А' , сократим на х₁ , получим .

В' (ВS) В' , сократим на у₂ , получим .

Рассмотрим репер R'(А',В',S,Е). Он не согласован т.к. + + ≠ .

Решая систему , получим k₁ = 1, k₂ = 1, k₃ = - а – b.

Тогда, М и М ^-1

Пусть точка D в репере R' имеет координаты , тогда по формулам преобразования координат μ Х_R′ =М^-1 ∙Х_R

D_R′ = · = .

С_R′ = · = = .

Так как точка D' является проекцией точки D из точки S (вершины нового репера) на координатную прямую (А'В'), то по теореме о проекциях D'_R′= . Точка С' является проекцией точки С из точки S на (А'В'), то С'_R′= . Значит в репере из точек А', В', С' точка D' ,

тогда (A'B',C 'D')= . □

Замечание: Это свойство позволяет вычислять сложное отношение для точек, заданных своими координатами на проективной плоскости.

Задача. Найти сложное отношение точек A , B , C , D .

Решение. Проверим коллинеарность точек.

~ ~ ~ ~ rang = 2 точки коллинеарны.

(Какими ещё способами можно проверить коллинеарность точек?)

Спроектируем точки из какой-либо вершины репера на какую-либо координатную прямую. Например, из Е₃ на (Е₁Е₂), получим точки

A₃ ,B₃ ,C₃ ,D₃ .

В репере R( Е₁, Е₂, Е₃₀) эти точки будут иметь координаты A₃ ,B₃ ,C₃ ,D₃ .

По свойству (7) получим

(AB,CD) = (A₃B₃ ,C₃D₃) = =3.

Замечание: Проверка коллинеарности точек на плоскости обязательна!

Замечание: Это свойство позволяет вводить понятие сложного отношения четырёх прямых пучка. Проводя любую прямую, не принадлежащую пучку, мы будем получать четвёрки точек с одинаковым сложным отношением.

Определение: Сложным отношением 4 прямых пучка будем называть число (ab,cd) = (AB,CD).

Задача. Найти сложное отношение прямых а: х₁ – 3х₂ + 5х₃ =0, b: 4х₁ + 3х₂ - х₃ =0,

c: 2х₁ – х₂ + 3х₃ =0, d: 3х₁ – 4х₂ + 8х₃ =0.

Решение.

Первый способ: Проверим принадлежность прямых одному пучку.

Найдем точку пересечения прямых а и b:

→ → или - М.

Проверим, принадлежит ли точка М прямым с и d:

для прямой с: 2∙(-4) – 7 + 3∙5= 0, для прямой d: 3∙(-4) - 4∙7 + 8∙5 = 0.

прямые принадлежат одному пучку. (Какими ещё способами можно проверить принадлежность прямых одному пучку?)

Выберем любую прямую не проходящую через точку М, например прямую (Е₂Е₃), её уравнение х₁ = 0. Найдем точки пересечения данных прямых с прямой (Е₂Е₃):

→ → - точка А,

→ → или - В,

→ → - точка С,

→ → или - D.

Точки лежат на прямой (Е₂Е₃), найдем их сложное отношение:

(AB,CD) = = = 2,5 (ab,cd)=2,5.

Второй способ. Применим принцип двойственности:

а: х₁–3х₂+5х₃=0, → A , b: 4х₁+3х₂-х₃=0, → B ,

c: 2х₁–х₂+3х₃=0, → C , d: 3х₁–4х₂+8х₃=0, → D .

Принадлежность прямых одному пучку коллинеарности точек.

~ ~ ~ rang = 2 точки коллинеарны.

Спроектируем точки из какой-либо вершины репера на какую-либо координатную прямую. Например из Е₂ на (Е₁Е₃ ), получим точки A₂ , B₂ , C₂ , D₂ .

В репере R( Е₁, Е₃, Е₂₀) эти точки будут иметь координаты A₂ , B₂ , C₂ , D₂ .

По свойству (7) получим (AB,CD) = (A₂B₂ ,C₂D₂)= =2,5.

Рассмотрим частные случаи сложного отношения.

Пусть репер R( А, В, С).

1. В=D D (AB,CD) = = 0.

2. С=D D (AB,CD) = = 1.

3. А=D D (AB,CD) = - не существует.

Вывод: Точка D может совпадать с любой точкой кроме точки А.

Гармонизм

Определение: Если (AB,CD) = - 1, то четверка точек A,B,C,D называется гармонической.

Рассмотрим гармоническую четверку точек (AB,CD) = -1.

По свойству (2) (CD, AB) = (AB,CD) = -1.

По свойству (3) (AB,DC) = = -1.

Вывод: При перестановке пар и/или точек в паре гармонизм не нарушается.

Теорема. Четвёрка точек A, B,C, D_∞ - гармоническая тогда и только тогда, когдаточка C - середина AB . (третья точка – середина отрезка из первых двух).

Доказательство. C – середина AB (AB,C) = 1.

По свойству (6) (AB,CD_∞) = - (AB,C) = - 1 - гармоническая четвёрка. В обратную сторону докажите самостоятельно □

Построение гармонических четвёрок.

Задача 1. В пучке П(S) даны три прямые а, b, с. Построить прямую d такую, что (аb, сd) = -1.

Решение. Сложное отношение прямых пучка определяется сложным отношением точек пересечения этих прямых с какой-либо прямой не инцидентной пучку. Мы должны подобрать прямую таким образом, чтобы точки пересечения давали некоторый отрезок вместе с его серединой, тогда по теореме четвёртая гармоническая точка будет несобственной точкой. А значит, четвёртая гармоническая прямая в пучке будет параллельна подобранной прямой.

Построение:

1. На третьей прямой с выбираем М.

2. Через неё проводим прямые параллельные а и b. (АМ)|| b и (ВМ)|| а

3. А=(АМ)∩а и В=(ВМ)∩b.

4. С=(АВ) ∩ с.

5. Четырехугольник АSВМ – параллелограмм, по свойству параллелограмма точка пересечения диагоналей является серединой диагонали. Т.е. С середина АВ. По теореме

четвертая гармоническая точка будет

несобственной, т.е. D_∞ .

6. Искомая прямая - d=(SD_∞).

Задача 2. В на прямой даны три точки A, B, C. Построить точку D такую, что (AB,CD) = -1.

Решение. Будем использовать предыдущую задачу Возьмем S' (АВ).

Обозначим а=(АS'), b=(ВS), с=(СS'). Далее решение задачи 1.

Опишите последовательность построения самостоятельно.