Преобразование координат


 

Рассмотрим проективную прямую Р1 и два репера

R(Е1 2 ) и R′(Е′1 ,Е′2 , Е′). Пусть известны координаты точек второго репера в первом репере:

Е′1 , Е′2 , Е′ , т.е. ē′1 = α11 ē1+ α21 ē2, ē′2 = α12 ē1 + α22 ē2 , ē′ = α10 ē1 + α20 ē2 .

В общем случае репер R′(Е′1 ,Е′2 ,Е′) может оказаться не согласованным (ē′1+ ē′2 ≠ ē′). Согласуем точки второго репера, т.е. найдем такие числа k1 и k2 , что ē′ = k1ē′1 + k2ē′2 , для этого необходимо решить систему: .

Пусть матрица системы А ,тогда ∆А0 (почему?).

Система имеет единственное решение (k1 , k2) и тогда будем считать координатами точек Е′1 и Е′2 , репер в этом случае будет согласованным.

Замечание: В дальнейшем будем считать, что второй репер – согласован (если нет, то мы знаем, как его согласовать).

Пусть точка Х в репере R и та же точка в репере R′ имеет координаты .

Тогда вектор , порождающий эту точку может выражаться через вектора первого и второго базисов: = х1 ∙ē1 + х2 ∙ē2 или = у1∙ē′1 + у2∙ē′2

= у1∙ē′1 + у2∙ē′2 = у111∙ē1 + α21∙ē2)+ у21∙ē1 + α22∙ē2) = =(у1α11+ у2α12)∙ē1+ (у1α21+ у2α22)∙ē2 = х1∙ē1+ х2∙ē2 х1 = у1α11 + у2α12 и х2 = у1α21 + у2α22 ,

или = , в матричной записи: ХR =A∙XR ,

где ХR - столбец координат точки Х в первом (старом) репере,

а XR - столбец координат той же самой точки Х во втором (новом) репере.

Матрица А будет матрицей перехода от старого репера к новому реперу.

Замечание: Матрица Аявляется невырожденной. (Почему?).

Вывод: Зная матрицу перехода и координаты точки в новом репере можно находить координаты точки в старом репере:

ХR =A∙XR │∙А-1 слева

А-1ХR =А-1A∙XR = XR XR = А-1ХR .

Вывод:Формулы преобразования координат точек при переходе к другому реперу имеют вид:

λ ХR =AXR и μ XR = А-1ХR .

 

Аналогичные рассуждения можно применить для Р2,

Пусть Е'1 , Е'2 , Е'3 , Е' .

Для согласования второго репера будем находить k1 , k2 , k3 .

Получим матрицу третьего порядка А.

Формулы преобразования координат точек будут такими же:

λ ХR =AXR и μXR = А-1ХR .

 

Рассмотрим прямую и∙Х=0.

Пусть её координаты в старом репере - иR и в новом - uR .

Уравнение прямой в старом репере иR ∙ХR=0, в новом иR ∙ХR=0.

Подставим формулы преобразования координат, получим 0= иRХR = иRAXR = иR ХR ,

где иRA=иR или λ иR= иRA, тогда μ иR = иR A-1 .

Вывод: Формулы преобразования координат точек и прямых на проективной плоскости имеют вид:

Для точек λ ХR =AXR и μ XR = A -1ХR .

Для прямых λ иR= иR A и μ иR = иRA -1.

Замечание:Обратите внимание на умножение матриц: для точек матрица перехода умножается слева, а для прямых справа.

Задача. Даны два репера R(Е1 , Е2 , Е3 , Е) и R′(Е′1 , Е′2 , Е′3 , Е′). Известны координаты точек второго репера в первом:

Е′1 , Е′2 , Е′3 , Е′ .

Найти формулы преобразования координат при переходе от одного репера к другому. Найти координаты точки М во втором репере если известны её координаты в первом МR . Найти координаты точки К в первом репере если известны её координаты во втором КR .

Найти уравнение прямой а :5 х1 - 2 х2+3 х3 = 0 в новом репере.

Решение. Проверим, согласованы ли точки второго репера:

+ + = - второй репер не согласован.

Согласуем его, для этого решим систему ,

её решением будет: k1 = 2, k2 = 2, k3= -1,

тогда матрица перехода будет A ,

обратной является A-1= = .

Так как координаты определяются с точностью до пропорциональности коэффициент можно отбросить.

Формулы преобразования координат примут вид:

λХR= XR и μXR = ХR .

μМR = A -1МR = = .

λКR=AКR = = , с учетом пропорциональности координаты точки К в старом репере будут .

λ аR= аRA= = , с учетом пропорциональности координаты прямой будут аR : 10 х′1 + 9 х′2 = 0

 



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 437;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.012 сек.