ПРОЕКТИВНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Проективный репер

Рассмотрим проективные прямую P₁. и плоскость P₂.

Определение: Упорядоченная система из трех различных точек Е₁ , Е₂ , Е - называется проективным репером на прямой P₁.

Обозначение:R(Е₁ , Е₂ , Е) - проективный репер на прямой.

Определение: Упорядоченная система точек

Е₁ , Е₂ , Е₃ , Е , среди которых никакие три не лежат на одной прямой, называется проективным репером на плоскости.

Теорема. Всегда существует система векторов согласованная с данным репером.

Доказательство. Докажем для проективной прямой, для проективной плоскости доказывается по аналогии.

Точки Е₁ , Е₂ , Е порождаются векторами ē₁ , ē₂ , ē V₂ они линейно зависимы такие, что α∙ē₁ + β∙ē₂ = ē. Но ē'₁=α∙ē₁ - порождает точку Е₁, а ē'₂ =β∙ē₂ - точку Е₂ (аксиома 2). Тогда система ē'₁, ē'₂, ē – будет согласованной с данным репером. □

Замечание: Систем векторов согласованных с данным репером много.

Теорема. Пусть R(Е₁ , Е₂ , Е) репер на прямой, а ē₁ , ē₂ , ē и ā₁ , ā₂ , ā - две системы векторов, согласованные с данным репером, тогда λ ≠ 0 , причем ā₁= λ∙ē₁ , ā₂= λ∙ē₂ , ā= λ∙ē.

Доказательство. Так как вектора ē₁ , ē₂ , ē и ā₁ , ā₂ , ā порождают одинаковые точки по аксиоме 2 они коллинеарны, т.е.ā₁=λ₁∙ē₁ , ā₂=λ₂∙ē₂ , ā=λ∙ē, но системы согласованны ē₁+ ē₂= ē и ā₁+ ā₂=ā λ₁∙ē₁+λ₂∙ē₂=λ∙ē λ₁∙ē₁+λ₂∙ē₂=λ∙ē | : λ≠0

ē= ∙ē₁+ ∙ē₂=ē₁+ē₂ =1 и =1

λ₁=λ₂=λ ā₁=λ∙ē₁ , ā₂=λ∙ē₂ , ā=λ∙ē.

Для проективной плоскости Р₂ рассмотреть самостоятельно (по аналогии). □

Определение: Базисы ē₁ , ē₂ , ē₃ и ā₁ , ā₂ , ā₃, такие, что ē_i=λ ā_i называются гомотетичными.