Могут ли три координаты точки равняться 0? А две?

Пусть точка Х отлична от вершин репера.

Определение: Проекцией точки Х из Е₃ на (Е₁Е₂) называется точка Х₃ такая, что Х₃= (ХЕ₃)∩(Е₁Е₂).

Аналогично определяются проекции из Е₂ и Е₁:

Х₁= (ХЕ₁)∩(Е₂Е₃),

Х₂=(ХЕ₂)∩(Е₁Е₃).

Тогда Х= (Х₁Е₁) ∩ (Х₁Е₂) ∩ (Х₃Е₃).

Пусть Е₁₀ , Е₂₀ , Е₃₀. - проекции точки Е на координатные прямые,

тогда на каждой прямой возникает свой репер:

на (Е₁Е₂) - R(Е₁ , Е₂ , Е₃₀),

на (Е₁Е₃) - R(Е₁ , Е₃ , Е₂₀),

на (Е₂Е₃) - R(Е₂ , Е₃ , Е₁₀).

Теорема о проекциях. Пусть R(Е₁ , Е₂ , Е₃ , Е) - репер на проективной плоскости, точка Х отлична от точек репера, точки Х₁ , Х₂ , Х₃ – проекции точки Х на соответствующие координатные прямые. Тогда

точка Х₁ в R(Е₂ , Е₃ , Е₁₀) будет иметь координаты ( х₂ : х₃),

точка Х₂ в R(Е₁ , Е₃ , Е₂₀) будет иметь координаты - ( х₁ : х₃),

точка Х₃ в R(Е₁ , Е₂ , Е₃₀) будет иметь координаты - ( х₁ : х₂).

Доказательство. Докажем для одной проекции точки, для остальных доказательство по аналогии.

Пусть Х₁ , т.к. Х₁ (Е₂Е₃), тогда у₁= 0 Х₁ .

Точки Х, Х₁ , Е₁ - принадлежат одной прямой

=0 х₂∙у₃ – х₃∙у₂=0 у₂= λ ∙х₂ , у₃ = λ ∙х₃

Х₁ или Х₁ , аналогично: Х₂ и Х₃ .

Тогда проекции точки Е на координатные прямые будут иметь координаты:

Е₁₀ , Е₂₀ , Е₃₀ т.к. Е .

Рассмотрим: Е₁₀ , Е₂ , Е₃ и Х₁ - они все лежат на прямой (Е₁Е₂).

Рассмотрим векторы, порождающие эти точки в базисе ē₁ , ē₂ , ē₃ :

ē₁₀ = 0 ∙ ē₁ + 1 ∙ ē₂ + 1 ∙ē₃ , → ē₁₀ = 1 ∙ ē₂ + 1 ∙ē₃ ,

ē₂ = 0 ∙ ē₁ + 1 ∙ ē₂ + 0 ∙ē₃ , → ē₂ = 1 ∙ ē₂ + 0 ∙ē₃ ,

ē₃ = 0 ∙ ē₁ + 0 ∙ ē₂ + 1 ∙ē₃ , → ē₃ = 0 ∙ ē₂ + 1 ∙ē₃ ,

= 0 ∙ ē₁ + х₂ ∙ ē₂ + х₃ ∙ē₃ , → = х₂ ∙ ē₂ + х₃ ∙ē₃ .

Но векторы ē₂ , ē₃ линейно-независимы, система ē₂, ē₃ , ē₁₀ - согласована (ē₂+ ē₃=ē₁₀), а значит точки Е₂ , Е₃ , Е₁₀ образуют репер R(Е₂ , Е₃ , Е₁₀ ) и точка Х₁ в нем имеет координаты ( х₂ : х₃). □

Замечание: Это теорема позволяет легко строить точки на проективной плоскости по их проекциям, т.к. Х= (Х₁Е₁)∩(Х₁Е₂)∩(Х₃Е₃).