Однородные проективные координаты
Рассмотрим расширенную евклидову прямую. Пусть одна из базисных точек будет несобственной, например Е1∞ . Так как на расширенной прямой только одна несобственная точка, то у всех остальных точек х2 ≠0.
Возьмем базис в V2 следующим образом:
ē = , ē2 = ,
тогда ē1 = .
Пусть М = х1 ∙ē1 + х2 ∙ē2 , или = ∙ē1+1∙ē2 = ∙ +1∙ē2, но коэффициент 1 перед ē2 будет у всех векторов, кроме ē1, а значит все точки кроме Е1∞ определяются отношением . Если точку Е2 взять в качестве начала отсчета, а точку Е в качестве единицы, то на прямой получается аффинная система координат с базисным вектором ē1= и для построения точки достаточно знать аффинную координату х= . Единственная точка, у которой не может быть аффинной координаты - точка Е1∞ .
Задача. Найти аффинные координаты точек А , В , С
Решение. А имеет аффинную координату хА= - ⅔,
В имеет аффинную координату хВ= 0, С → хС= 2.
Замечание: Если х - аффинная координата точки Х, тогда проективными координатами точки будут - .
Точка Е1∞ - не имеет аффинных координат, т.к. её нет на аффинной прямой.
Замечание: Несобственной точкой в репере может быть точка Е2∞ , тогда аффинный репер будет состоять из точек Е1 (начало)и Е (единица), а аффинная координата будет х = .
Определение: Проективный репер прямой, в котором одна из вершин является несобственной точкой называется однородным. (однородная проективная система координат).
Определение: Аффинная система координат, связанная с однородной проективной системой координат называется неоднородной аффинной системой координат.
Замечание: Если несобственной будет единичная точка Е, то репер не будет однородным.
Рассмотрим расширенную евклидову плоскость.
Пусть две базисные точки будут несобственными, например Е1∞ .и Е2∞ .
Если у точки плоскости координата х3 = 0, тогда точка лежит на прямой (Е1∞ Е2∞) которая является несобственной прямой, а значит и сама точка является несобственной.
Рассмотрим точки, для которых х3 ≠ 0.
Возьмем базис в V3 следующим образом: ē= , ē3= , тогда ē1= и ē2= .
Пусть М - собственная точка =х1∙ē1+ х2∙ē2+ х3∙ē3, или
= ∙ē1+ ∙ē2+ ē3= ∙ + ∙ + ē3, но коэффициент 1 перед ē3 будет у всех точек плоскости, для которых х3 ≠ 0, а значит, такие точки определяются отношениями и .
Если обозначить = х и = у, то получим = х ∙ē1 + у ∙ē2 .
Это означает, что х и у - аффинные координаты собственных точек на плоскости.
Начало координат в точке Е3 , оси ОХ и ОY - это прямые (Е1∞ Е3) и (Е2∞ Е3), единицы на осях - Е10 и Е20 , базисные векторы ē1 = и ē2 = .
Вывод: Любая собственная точка М на расширенной евклидовой плоскости будет иметь аффинные координаты - ( х ; у ), где х = и у = . И наоборот, точка с аффинными координатами - ( х ; у )будет иметь проективные координаты - .
Если точка несобственная - N∞ , то задать её можно только с помощью прямой на которой она лежит (т.к. каждая прямая имеет только одну несобственную точку).
У всех несобственных точек х3=0, вектор порождающий такую точку будет - = х1∙ē1+ х2∙ē2+ 0∙ē3 или = х1∙ē1+ х2∙ē2 - это направляющий вектор прямой, на которой лежит несобственная точка N∞ .
Задача. Найти аффинные координаты точек
А , В , С , D .
Решение. Для А аффинные координаты будут (0,4;-0,6), для точки В - ( -1 ; -3 ), для С - ( 2 ; 0 ). Точка D является несобственной, т.к. х3=0 , аффинных координат у этой точки нет. Тогда эту точку можно задать только с помощью прямой на которой она лежит. Направляющий вектор этой прямой будет - = 1∙ē1 - 3∙ē2 .
Задача. Найти проективные координаты точек А( 4 ; -3 ), В( 5 ; 0 ).
Решение. А( 4 ; -3 ) имеет проективные координаты . Точка В( 5 ; 0 ) - .
Задача. Найти координаты несобственной точки, лежащей на прямой т : 2 х + 7 у =0.
Решение. Направляющий вектор прямой будет ( 7 ; -2 ) проективные координаты точки М∞ .
Замечание: Несобственными точками могут быть точки Е1∞ и Е3∞ , тогда аффинные координаты будут - х = и у = .
Или несобственными точками в репере могут быть точки - Е2∞ и Е3∞ (аффинные координаты определите самостоятельно).
Определение: Проективный репер плоскости, в котором две из трёх вершин являются несобственными точками, называется однородным (однородная проективная система координат).
Определение: Аффинная система координат, связанная с однородной проективной системой координат, называется неоднородной аффинной системой координат.
Замечание: Если одной из несобственных точек будет единичная точка Е, то репер не будет однородным.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 281;