ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Данная теорема определяет условия, при которых возникает СВ с нормальным законом распределения – т.е. закон распределения суммы большого числа СВ близок к нормальному.
Эта теорема впервые была сформулирована русским математиком Ляпуновым А.М. (1857-1918).
Одна из простейших форм – относится к случаю одинаково распределенных слагаемых.
Теорема. Если X1…Xn-случайные независимые величины имеющие одно т тоже распределение с математическим ожиданием m и дисперсией σ2, то при увеличении n закон распределения суммы
неограниченно приближается к нормальному.
Теорема Ляпунова. Пусть X1, …,Xn – независимые случайные величины с математическими ожиданиями m1, …, mn и дисперсиями D1, …, Dn, причем при n→∞
.
При наличии данных условий закон распределения
неограниченно стремится к нормальному при n ®¥
Например, теоремы Муавра–Лапласа – частный случай ЦПТ. Если производится m независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то справедливо соотношение:
Упрощенный вариант – Если СВ есть сумма большого числа независимых СВ, влияние которых на всю сумму мало, то Х имеет закон распределения, близкий к нормальному.
Пример1.2. Требуется произвести 60 выплат. Размер выплат случаен, но средняя выплата равна 50, а средне квадратичное отклонение равно 20.
1. Сколько должно быть денег в кассе, чтобы с вероятностью 0Б95 хватило всем?
2. Сколько денег с вероятностью 0,95 останется в кассе, если первоначально было 3500.
Решение. Суммарная выплата . На основании центральной предельной теореме для одинаково распределенных слагаемых Y имеет приблизительно нормальное распределение с параметрами
Необходимый запас определяем с использованием функции Лапласа:
Остается
3500-3255,6=244.4.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 252;